Adaptive isogeometrische Randelementmethode für die hypersinguläre Integralgleichung

Abstract

In dieser Arbeit wird die hypersinguläre Integralgleichung auf einem offenen zweidimensionalen Gebiet mit stückweise glattem Rand betrachtet. Wir approximieren die Lösung mittels eines Galerkin-Verfahrens basierend auf NURBS (non-uniform rational B-Splines). Für diese Diskretisierung definieren wir einen gewichteten Residualschätzer mit Oszillationsterm, welcher von einer Approximation der gegebenen Randdaten herrührt, und zeigen strukturelle Eigenschaften wie etwa Zuverlässigkeit. Wir entwickeln einen adaptiven Algorithmus, der auf obigem Residualschätzer basiert, und zeigen die folgenden Hauptresultate: Der Schätzer konvergiert linear in der Anzahl adaptiver Schritte und fällt mit optimaler algebraischer Konvergenzrate. Die theoretischen Ergebnisse werden durch numerische Beispiele untermauert. Der Matlab/C-Code der Implementierung findet sich im Anhang der Arbeit.

This thesis deals with the hyper-singular integral equation on a two-dimensional Lipschitz domain with piecewise smooth boundary. We employ a Galerkin method to approximate the solution by non-uniform rational B-splines (NURBS). For this discretization, we derive a weighted residual error estimator with an oscillation term, which stems from the approximation of the given boundary data. We show reliability and other structural properties of this error estimator. Moreover, we employ the error estimator to steer an adaptive algorithm. The main results read as follows: First, the error estimator is linearly convergent with respect to the number of adaptive steps. Second, it decays at optimal algebraic convergence rate. Numerical results underpin our theoretical results. The appendix provides the Matlac/C-code of our implementation.