Derivation of first-order theory for thin spherical shells, based on the principle of virtual power

Abstract

Eine schubstarre Theorie erster Ordnung für dünne Kugelschalen wird mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Leistungen hergeleitet. Es werden dünne Schalen mit konstanter Dicke analysiert, wobei die Dicke der Schale viel kleiner als der Radius der Schalenmittelfläche ist. Es wird ein Kugelkoordinatensystem mit einer Radialkoordinate r, einem Polarwinkel , und einem Azimutwinkel ' gewählt (Abbildung 1). Diese Diplomarbeit hat das Ziel, die geometrischen Beziehungen, konstitutiven Beziehungen und Gleichgewichtsbedingungen herzuleiten. Zu Beginn der Anwendung des Prinzips der virtuellen Leistungen werden kinematischen Annahmen getroffen, das heißt wir beschränken uns auf Verschiebungsmöglichkeiten, die für eine Kugelschale charakteristisch sind, statt die sehr viel allgemeineren Verschiebungsmöglichkeiten eines dreidimensionalen Kontinuums zu untersuchen. Diese Annahmen erlauben das Entwickeln eines zweidimensionalen Rechenmodells, in dem ausschließlich die Mittelfläche untersucht wird, der Steiffigkeitseigenschaften zugewiesen werden. Im Zuge der kinematischen Beschreibung beschränken wir uns auf kleine Erzeugendenverdrehungen und vernachlässigen die durch Belastung hervorgerufenen Änderungen der Schalendicke. Weiteres folgt die Annahme vom Geradebleiben der Schalenerzeugenden. Die Verschiebungsmöglichkeiten der Schalenerzeugenden sind somit auf fünf Starrkörperverschiebungsmoden eingeschränkt, nämlich auf drei translatorische Verschiebungen (in radialer, polarer und azimutaler Richtung) sowie auf zwei Verdrehungen (um die Tangenten an die Parameterlinien in polarer und azimutaler Richtung). Es folgt die Annahme, dass die Verschiebungen wesentlich kleiner als die Schalendicke sind. Infolgedessen sind die Koordinaten mit Bezug auf die unverformte Lage näherungsweise gleich den Koordinaten mit Bezug auf die verformte Lage. Zuletzt kann der linearisierte Verzerrungstensor verwendet werden, da kleine Verdrehungen zu kleinen Verschiebungsableitungen führen. Durch Formulierung der virtuellen Leistung der äußeren Kräfte werden leistungsmotivierte Spannungsresultanten, konstitutive Gesetze sowie Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Membranspannungen hergeleitet. Das dazu erforderliche virtuelle Geschwindigkeitsfeld wird analog zum eingeschränkten realen Verschiebungsfeld gewählt. Im Zuge der mathematischen Formulierung der virtuellen Leistung der äußeren Kräfte identifizieren wir leistungsmotivierte Spannungsresultanten einer Kugelschale, die an den charakteristischen Verschiebungsmöglichkeiten einer Schalenerzeugenden Arbeit leisten. Es wird ein Unterschied zwischen Einwirkungsresultanten und Schnittgrößen gemacht. Äußere Lasten werden zu Einwirkungsresultanten zusammengefasst. Die Flächenlasten leisten an virtuellen Verschiebungsraten der Plattenmittelfläche Arbeit. Die Flächenmomente leisten an den virtuellen Erzeugendenrotationen der Schalenmittelfläche Arbeit. Spannungen in der Schale werden zur Schnittgrößen zusammengefasst. Die transversalen Schubspannungsresultanten und die Membrankräfte leisten an den virtuellen Verschiebungsraten an den Schalenrändern Arbeit, und die Krempel- und Drillmomente leisten an den virtuellen Erzeugendenrotationen an den Schalenrändern Arbeit. Zur Herleitung konstitutiver Beziehungen werden die Schalenmembranspannungen mit Hilfe des Hooke'schen Gesetzes durch isotrope Elastizitätskonstanten und durch die Freiheitsgrade der Schalenerzeugenden ausgedrückt. Die so erhaltenen Spannungsausdrücke werden in die Schnittgrößendefinitionen eingesetzt, um die konstitutiven Beziehungen zu erhalten. Durch Rückeinsetzen werden schließlich die Membranspannungen durch die Membranspannungsresultanten ausgedrückt. Im Rahmen der Formulierung der virtuellen Leistung der inneren Kräfte erbringen reale Spannungen virtuelle Leistung entlang von virtuellen Verzerrungsraten. Dazu wird ein Feld von virtuellen Verzerrungsraten benötigt, die ausgehend vom virtuellen Geschwindigkeitszustand berechnet werden. Die Formulierung der virtuellen Arbeit der inneren Kräfte vervollständigt die Anwendung des Prinzips der virtuellen Leistungen und führt zu den fünf Gleichgewichtsbedingungen der beschriebenen Kugelschalentheorie.

The purpose of this thesis is to derive a first-order theory for thin spherical shells based on the three-dimensional linear elasticity theory, using the principle of virtual power as a tool for the derivation. By "thin" we mean that the thickness-to-radius ratio is small compared to 1. In order to carry out the transition from a three-dimensional continuum to a shell structure, we focus our analysis to characteristic displacement and rotation possibilities of the shell generator. As a result, kinematic assumptions of spherical shells are made: (i) small shell generator rotations, (ii) shell generator remains straight and orthogonal to the deformed midsurface, and small displacements of the shell generator compared with the shell thickness. This leads to the identification of five types of rigid body motions representing five degrees of freedom of the shell generator, including three displacements (in radial, polar, and azimuthal direction) and two rotations (around the tangents of the parameter lines in polar and azimuthal direction). In the course of formulating the virtual power of the external forces, stress resultants are identified. Applying Hooke's law allows for expressing membrane stresses by means of isotropic elastic constants and of shell generator degrees of freedom. Introducing the thus obtained expressions for membrane stresses into the expressions for stress resultants results in constitutive equations. In addition, introducing stress resultants into membrane stresses results in the relations between membrane stresses and stress resultants. Furthermore, we calculate the virtual power of internal forces, where membrane stresses perform power along the virtual strain rates. The latter are chosen by analogy to the real strains. Specifying the expression for the virtual power of internal forces for the virtual strain rates and making use of the stress resultants leads to the identification of the virtual power of internal forces. Finally, equating the mathematical formulations of the virtual power of the external forces and of the internal forces to zero delivers the equilibrium equations for thin spherical shells. Additionally, after specifying equilibrium equations only for membrane forces, we identify the conditions for membrane behaviour. As a conclusion, the principal of virtual power is a very elegant approach for the derivation of structural theories, since it clearly shows the simplifying assumptions and represents a rigorous way of derivation.