Isogeometrische Randelementmethode für die Lamé-Gleichung

Abstract

In dieser Arbeit betrachten wir das Dirichlet-Randwertproblem fur die homogene Lamé-Gleichung für lineare Elastizität in zwei Dimensionen. Die Lamé-Gleichung kann äaquivalent als System von Randintegralgleichungen formuliert werden. Der Fokus dieser Arbeit liegt in der numerischen Approximation der Lösung dieser Randintegralgleichungen mittels isogeometrischer Randelementmethode (BEM, boundary element method). Die zentrale Idee der isogeometrischen Analysis ist, die gleichen Ansatzfunktionen für die Approximation der Lösung der Randintegralgleichungen zu verwenden, die auch für die Darstellung der Geometrie in Computer Aided Design (CAD) verwendet werden. Wir nehmen daher an, dass die Diskretisierung des Randes in Form von NURBS Funktionen gegeben ist, welche in [dB86] beschrieben werden. Zuerst beschäftigen wir uns mit der eindeutigen Lösbarkeit der Symm'schen Integralgleichung, welche äquivalent zum Dirichlet-Problem ist. Zusatzlich betrachten wir die Hypersinguläre Integralgleichung, welche äquivalent zum Neumann-Problem ist. Wir beschäftigen uns mit der numerischen Approximation der Integraloperatoren, die in der Symm'schen Integralgleichung auftreten, also die Spur des Einfachschicht- und Doppelschichtpotentialoperators. Wir verfolgen dafür die Ansätze von [Gan14] fur isogeometrische BEM fur die Laplace-Gleichung und wenden diese auf die Lamé-Gleichung an. Insbesondere sind für die Spur des Doppelschichtpotentialoperators bestimmte Integraltransformationen notwendig, da seine Darstellung nur als Cauchyscher Hauptwert eines Randintegrals existiert und nicht wie im Falle der Laplace-Gleichung uneigentlich integrierbar ist. Wir wenden uniforme und adaptive Netzverfeinerung an, wobei wir für einen adaptiven Algorithmus die Ansätze von [FGHP16] verfolgen. Als a posteriori Fehlerschätzer und Verfeinerungsidikator betrachten wir den h-h/2 Fehlerschätzer und seine lokalen Beitrage. Um unsere Implementierung der Operatoren zu validieren und unsere theoretischen Ergebnisse zu unterstreichen, beschäftigen wir uns mit verschiedenen Tests und präsentieren einige numerische Beispiele.

In this work, we deal with the Dirichlet boundary value problem for the homogeneous Lame equation from linear elasticity in two dimensions. The equation can then be equivalently reformulated as boundary integral equations. The focus of this work lies on the numerical approximation of the solution to these boundary integral equations via isogeometric BEM (boundary element method). The central idea of isogeometric analysis is to use the same ansatz functions of the approximation of the solution of the boundary integral equation as for the representation of the geometry in computer aided design (CAD). Therefore, we assume that the discretization of the boundary is given in NURBS functions which are described in [dB86]. First, we deal with the unique solvability of the Symm's integral equation, which is equivalent to the Dirichlet problem. We also consider the hypersingular integral equation, which is equivalent to the Neumann boundary value problem. Then, we focus on the numerical approximation of the relevant integral operators occurring in the Symm's integral equation, namely the trace of the single and double layer potential. We follow the approach and results given in [Gan14] for isogeometric BEM for the Laplace equation and adapt them for the Lame equation. However, the approximation of the trace of the double layer potential has to be treated with speci c integral transformations, as its representation only exists as Cauchy principal value of a surface integral and the integral is not improperly integrable as it is the case for the Laplace equation. For mesh re finement we use uniform and adaptive re nement, where for the adaptive algorithm we follow the ideas of [FGHP16]. As an a posteriori error estimator and re nement indicator we consider the h