Analytical and numerical study of drift-diffusion models for spin-transport in semiconductors

Abstract

Der Zweck dieser Dissertation ist die Erforschung von Spin-Transport in Halbleitern. Das Hauptobjekt der Untersuchung ist ein spinoriales Matrix Drift-Diffusions Modell. Das Modell beschreibt die Entwicklung von Ladungs- und Spindichten. Es besteht aus parabolischen Bilanzgleichungen für die Dichten und der Poisson Gleichnung für das Potential. Das System ist nichtlinear und vollständig gekoppelt. Das Werk kann in drei Teile geteilt werden. Die ersten zwei Teile betrachten analytische und numerische Aspekte des Modells. Die Hauptidee des analytischen Teils ist die Verwendung von verschiedenen Variablen. Außer der Matrix-Formulierung haben wir noch die Systeme für spin-up und spin-down sowie für parallel und senkrecht Dichten. Der erste Teil enthält die analytische Untersuchung des Modells. Wir beweisen die Existenz und Eindeutigkeit einer beschränkten Lösung. Dafür verwenden wir den Fixpunktsatz von Leray-Schau-der. Stampacchia und die Moser Methode werden benützt, um die Beschränktheit der Lösung zu zeigen. Dissipation freier Energie wird auch gezeigt. Der zweite Teil präsentiert ein implizites Euler Finite-Volumen Schema für das Modell. Die Ladungs- und Spinströme werden mit Schar-fetter-Gummel Diskretisierung angenähert. Für den Beweis der Existenz der numerischen Lösung benützen wir den Fixpunktsatz von Brouwer. Wir zeigen auch die Dissipation der diskreten freien Energie. Als eine Illustration für die analytische Ergebnisse werden die numerischen Simulationen präsentiert. In 1D betrachten wir eine Diode und in 2D betrachten wir eine vereinfachte Form von einem Metall-Halbleiter-Feldeffekttransistor mit unterschiedlichen physikalischen Eigenschaften. Der dritte Teil des Werks behandelt ein spinoriales Energie-Trans-port Modell, das eine Erweiterung vom Drift-Diffusions System ist. Außer den Bilanzgleichungen für die Ladungs- und Spindichten enthält es eine Bilanzgleichung für die Energie. Die Herleitung dieses Modells wird auf der spinorialen Matrix Boltzmann Gleichnung mit einem energieerhaltend Stoßoperator geführt. Man muss vereinfachende Annahmen benützen, um ein explizit Modell zu bekommen. Numerische Simulationen illustrieren die analytische Ergebnisse.

The thesis is devoted to mathematical investigation of spin-transport in semiconductor material. The main object of the study is a spinorial matrix drift-diffusion model describing evolution of charge and spin densities. The model consists of parabolic balance equations for the densities incorporated with the Poisson equation for the electric potential. The system is fully coupled and nonlinear. The work is composed of three parts. The first two parts consider analytical and numerical aspects of the model respectively. The key idea of the analysis is a usage of different reformulations: in spin-up and spin-down as well as parallel and perpendicular variables. The first part considers analysis of the model. We show that the system has a unique bounded solution. The proof of the global-in-time existence is based on the Leray-Schauder fixed-point theorem. Stampacchia and Moser techniques are used to prove the boundedness. Dissipation of the free energy is also shown. The second part presents an implicit Euler finite-volume scheme for the model. The charge and spin fluxes are approximated by a Scharfetter-Gummel discretization. Existence of numerical solution is proven by means of the fixed-point theorem of Brouwer. It is shown that with a restriction on the time step the scheme features nonnegativity and boundedness of densities as well as the discrete free energy decay. As an illustration to the analysis numerical results for a diode in 1D and for a metal-semiconductor field-effect transistor (MESFET) in 2D are presented, some simple experiments on different variation of material properties (magnetic properties, doping) are performed. The third part of the thesis considers the extension of the system to a spinorial energy-transport drift-diffusion model where along with the balance of charge and spin densities the balance of energy is considered. The derivation of the model is based on the spinorial matrix Boltzmann equation with energy conserving collision operator and exploits entropy maximization. The straightforward version of the model is implicit. To obtain an explicit formulation some simplifying assumptions are used. Numerical results are presented for the illustration.