Convolution quadrature and boundary element methods in wave propagation : a time domain point of view

Abstract

In dieser Arbeit wird untersucht, inwieweit sich Wellenphänomene mittels Randintegralmethoden approximieren lassen. Derartige Methoden zeichnen sich dadurch aus, dass anstelle einer partiellen Differentialgleichung eine Integralgleichung am Rand des Gebiets betrachtet wird. Ein Vorteil dieser Formulierung ist, dass dadurch Streuprobleme auf unbeschränkten Gebieten numerisch behandelt werden können. Für stationäre Probleme sind Randelementmethoden bereits eine etablierte alternative zu klassischen Finite Element Methoden. Um Randintegralmethoden für Zeitabhängige Probleme anwendbar zu machen bietet sich die Methode der Faltungsquadratur von Lubich an. Diese Methode besitzt günstige Stabilitätseigenschaften und besitzt ein Äquivalenzprinzip zur Approximation einer Halbgruppe mittels eines passenden Zeitschrittverfahrens. Dieses Prinzip wird in dieser Arbeit ausgenutzt um das betrachtete Diskretisierungsschema zu analysieren und unterscheidet sich von der klassischen Herangehensweise, welche die Konvergenz mittels Abschätzungen im Laplace-Bereich zeigt. Diese reine Zeitbereichsmethode hat den Vorteil, dass die so erlangten Abschätzungen meist schärfer sind und mit weniger Regularitätsannahmen auskommen. In dieser Arbeit werden drei unterschiedliche Modellprobleme betrachtet: die zeitabhängige Schrödingergleichung in R d, diskretisiert mittels einer Kombination von Finiten- und Randelementen, ein nichtlineares Streuproblem im Außenraum, gegeben durch die lineare Wellengleichung mit nichtlinearer Randbedingung, und ein Streuproblem für Kompositmaterialien mit nicht-konstanter Wellenzahl. Für diese Modellprobleme werden Fragen zur Konvergenz und Stabilität beantwortet. Numerische Simulationen untermauern die theoretischen Resultate.

In this thesis, we consider different classes of time dependent wave propagation problems, and investigate whether they can be efficiently approximated using boundary integral methods. The idea of these methods is to replace partial differential equations with an integral equation on the boundary of the domain of interest. One of the main advantages of this approach is that problems posed on unbounded domains can be handled without further difficulties. For stationary problems boundary integral methods are well established as an alternative to more classical finite element based methods. In order to treat time dependent problems, one possibility is to apply Lubich's method of Convolution Quadrature. This approach has many favorable properties, including an equivalence principle, which relates the CQ approximation to the approximation of the underlying semigroup with an appropriate time-stepping scheme. In this work, we exploit this equivalence to analyze the discretization schemes under consideration. Our approach differs from the more standard way of treating time domain boundary integral equations, which relies on estimate in the Laplace domain in order to infer convergence results. The pure time-domain approach has the benefit of yielding stronger estimates with fewer regularity assumptions than the Laplace domain counterpart. In this thesis, we consider three different model problems, namely the time dependent Schrödinger equation posed in R d, treated by a coupling of Finite- and Boundary Element Methods, a nonlinear scattering problem in the exterior domain consisting of the linear wave equation augmented by a nonlinear impedance boundary condition, and a scattering problem by a composite material characterized by a non-constant wave number. For all of these model problems we answer questions regarding convergence and stability of the discretization scheme. Numerical simulations support the theoretical findings.