Adaptive FEM für Probleme mit inhomogenen Dirichlet-Daten

Abstract

Das Ziel dieser Arbeit ist es, unterschiedliche Varianten der Variationsformulierung und anschließender numerischer Diskretisierung des Dirichlet-Problems der Poisson-Gleichung zu untersuchen. Die entscheidende Rolle soll dabei die (im allgemeinen inhomogene) Dirichlet-Randbedingung spielen, wenn es um die folgenden Fragen geht: (1) Wie sieht die Lösungstheorie der exakten und der approximativen Lösung aus? (2) Wie sieht der Approximationsfehler aus? (3) Welche A-Priori- und A-Posteriori-Fehlerabschätzungen gibt es? (4) Wie können A-Posteriori-Fehlerabschätzungen verwendet werden, um einen adaptiven Finite-Elemente-Methode-Algorithmus zu realisieren? Vor allem geht es uns um die folgende Frage: (5) Welche unterschiedlichen Ansatzmöglichkeiten gibt es, eine Approximationslösung zu erhalten und wie sehen die Antworten auf die obigen Fragen in den verschiedenen Fällen aus? Wir ziehen dazu drei verschiedene Möglichkeiten für die Variationsformulierung in Betracht: Bei der ersten Variante werden die Dirichlet-Daten explizit gefordert, die zweite Variante basiert auf einer gemischten Formulierung und drittens verwenden wir Nietsches Methode der Variationsformulierung. In den ersten Kapiteln der Arbeit finden sich zunächst einige grundlegende Resultate und Ausführungen um den Bereich der Finite-Elemente-Methode. Der Hauptteil beschäftigt sich dann genau mit der oben genannten Thematik. Schlussendlich schließen wir die Arbeit dann mit ein paar numerischen Simulationsreihen zu den theoretischen Ausführungen ab.

In this thesis, we aim to investigate different Galerkin discretisations of the Poisson equation with inhomogeneous Dirichlet boundary conditions. The focus is on the numerical treatment of the inhomogeneous boundary conditions. The important questions are the following: (1) What is the mathematical background of an exact and approximate solution? (2) What can be shown mathematically about the approximation error as well as a priori and a posteriori estimates? (3) How can we develop an adaptive finite element method by use of a posteriori error estimates? Especially, we consider the following question: (4) What are possible approaches to get an approximate solution and what are the answers of the above questions in the different cases? We consider three different possibilities for the variational formulation: First we claim the Dirichlet boundary conditions explicitly, then we use a mixed method and finally we approximate by Nitsche¿s method. In the first chapters of the thesis, we also present some fundamental results dealing with the finite element method in general. The main part discusses the above mentioned topics. Finally, we conclude the thesis with some numerical experiments which underpin the theoretical results.