Regularity of the linear Wigner-Fokker-Planck equation

Abstract

Die Wigner-Fokker-Planck Gleichung ist eine parabolische (in bestimmten Fällen degeneriert parabolische) partielle Differentialgleichung. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung im Phasenraum eines Ensembles von quantenmechanischen Teilchen unter dem Einfluss eines äußeren Potentials und eines Hitzebades von harmonischen Oszillatoren im thermischen Gleichgewicht. In dieser Arbeit studieren wir die Existenz und die Regularität der Lösungen dieser Gleichung mit verschiedenen äußeren Potentialen: In Kapitel 2 mit einem harmonischen Oszillator-Potential und in Kapitel 3 mit einem harmonischen Oszillator-Potential mit einer beschränkten Störung. Im ersten Fall zeigen wir, dass die Lösung glatt ist. Auch im zweiten Fall ist die Lösung glatt unter der Annahme, dass die Störung glatt genug ist. Dazu verwenden wir zwei Vorgangsweisen: Einerseits die Existenz und Analytizität der stark stetigen Halbgruppe, die die Gleichung löst; andererseits die Abschätzung der Norm der Ableitungen der Lösung.

The Wigner-Fokker-Planck equation is a parabolic (in some cases degenerate parabolic) partial differential equation. It describes the time evolution in phase space of an ensemble of quantum particles under the influence of an exterior potential and interacting with a heat bath of harmonic oscillators in thermal equilibrium. In this work, we study the existence and the regularity of the solution of this equation for different exterior potentials: in Chapter 2 for a harmonic oscillator potential and in Chapter 3 for a harmonic oscillator potential with a bounded perturbation. In the first case, we show that the solution is smooth. In the second case, the solution is also smooth under assumptions on the regularity of the perturbation. To this end we use two approaches: on the one hand, the existence and the analyticity of the strongly continuous semigroup that solves the equation; on the other hand, the estimation of the norm of the derivatives of the solution.