Mennemann, J.-F. (2013). Simulation of nanoscale electronic devices using the Schrödinger equation with open boundary conditions [Dissertation, Technische Universität Wien]. reposiTUm. https://doi.org/10.34726/hss.2013.21397
Diese Arbeit behandelt die Simulation von Halbleiterbauteilen mit Hilfe der Schrödingergleichung beziehungsweise den Schrödinger-Poisson-Gleichungen. Einen besonderen Schwerpunkt bilden offene Randbedingungen zur Beschreibung der Bauteilkontakte. Zunächst entwickeln wie eine einfache aber effiziente numerische Methode zur Lösung der Schrödingergleichung in zwei- und dreidimensionalen Quantenwellenleitern. Dazu diskretisieren wir die Schrödingergleichung durch eine sogenannte Time-Splitting Spektralmethode, wobei die offenen Randbedingungen mit Hilfe komplexwertiger Potentiale realisiert werden. Um auch Elektronenwellen niedriger Energie absorbieren zu können, wird ein sehr großes Rechengitter benoetigt. Allerdings werden pro Zeitschritt effektiv nur zwei schnelle Fourier-Transformationen ausgewertet werden, weshalb der numerische Aufwand insgesamt vergleichsweise klein bleibt. Desweiteren simulieren wir eine Resonanztunneldiode mit Hilfe des Systems der Schrödinger-Poisson-Gleichungen. Zur Diskretisierung der stationären und zeitabhängigen Schrödinger Gleichung werden Finite-Differenzen-Methoden und diskrete transparente Randbedingungen eingesetzt. Dabei vermeidet unsere spezielle Diskretisierung unphysikalische Störungen in der Stromdichte. Außerdem werden die transparenten Randbedingungen der zeitabhängigen Schrödingergleichung so implementiert, dass der numerische Aufwand nicht quadratisch sondern nur linear mit der Gesamtzahl der Zeitschritte zunimmt. Schließlich simulieren wir das dynamische Verhalten einer Resonanztunneldiode in einer Oszillatorschaltung. Eine weitere interessante Möglichkeit offene Randbedingungen zu realisieren, ist durch sogenannte Perfectly Matched Layers (PML) gegeben. Anders als komplexwertige Potentiale sind PML in der Lage, Elektronenwellen von extrem kleiner, mittlerer und sehr großer Energie gleichzeitig zu absorbieren. Dabei können PML mit zahlreichen numerischen Methoden zur Lösung der Schrödingergleichung kombiniert werden. Darüber hinaus ist die Implementierung vergleichsweise einfach. In einer Reihe numerischer Experimente wird gezeigt, dass die Genauigkeit der Ergebnisse mit denen der diskreten transparenten Randbedingungen vergleichbar sind. Schließlich simulieren wir den Aharonov-Bohm Effekt in einem ringförmigen Quantenwellenleiter.
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This thesis is devoted to Schrödinger and Schrödinger-Poisson simulations of nanoscale electronic devices in the stationary and transient regime. The main focus is on different ways to implement open boundary conditions modeling the device contacts. First, we develop a fast, easy-to-implement numerical scheme to solve the Schrödinger equation in two- and three-dimensional quantum interference devices. For the discretization of the Schrödinger equation we employ a time-splitting spectral method. The open boundary conditions are realized via complex-valued potentials. In order to be able to absorb even low-energy waves the absorbing layers need to be large, which increases the computational costs. However, due to the low complexity of the time-splitting spectral scheme, the algorithm is still very fast. Furthermore, we simulate a resonant tunneling diode (RTD) utilizing thousands of wave functions coupled self-consistently to the Poisson equation. The Schrödinger equation is approximated by finite difference methods with discrete transparent boundary conditions (DTBC). Our discretization avoids any spurious oscillations in the wave functions which would otherwise cause physically incorrect distortions in the current density. Moreover, the boundary conditions are evaluated by an efficient recursive algorithm enabling simulations involving a very large number of time steps, which are needed to study the dynamical behavior of a RTD in a high-frequency oscillator circuit. Finally, we compare DTBC with the technique of Perfectly Matched Layers (PML), which is another approach to implement open boundary conditions in quantum device simulations. In contrast to complex-valued potentials, PML are able to absorb incident waves of extremely low to very high energies simultaneously. In a number of numerical experiments we demonstrate that the results obtained via PML are comparable to those obtained by DTBC. Moreover, PML are not tailored to a particular spatio-temporal discretization of the Schrödinger equation and the implementation is comparatively easy. As an example, we simulate the Aharonov Bohm effect in a ring-shaped quantum waveguide device.
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