Moment explosion time in the Rough Heston model

Abstract

Wir präsentieren einige Resultate aus [Gerhold et al. 2018, arXiv:1801.09458v3]. Hierbei ist das Hauptresultat und Motivation für weitere Anwendungen die Tatsache, dass die Explosionszeit der Momente im sogenannten Rough Heston Modell in der Variante, die von El Euch und Rosenbaum [El Euch, Rosenbaum 2016, arXiv:1609.02108] benutzt wird, genau dann endlich ist, wenn dies auch im gewöhnlichen Heston Modell der Fall ist. Motiviert ist dieses Resultat bzw. der Versuch es zu erlangen durch eine „schöne“ Darstellung der charakteristischen Funktion, die jener im gewöhnlichen Heston Modell ähnelt. Hergeleitet wurde diese Darstellung von El Euch und Rosenbaum in ihrem Paper von 2016. Um das Resultat aus Gerhold et al. zu erreichen, müssen wir die Lösung einer fraktionellen Riccati-Differentialgleichung untersuchen. Diese kann auch als Volterra-Integralgleichung zweiter Art mit schwach singulärem Kern geschrieben werden. Die Autoren machen sich die Mühe rigoros zu zeigen, dass diese Lösung der Volterra-Integralgleichung genau dann explodiert, wenn das Moment bzw. die Momentenerzeugende des Log-Preises dies tut. Nachdem das gesichert ist, wird für einen Spezialfall mittels Potenzreihenansatz ein effizienter Algorithmus zur numerischen Berechnung der Explosionszeit hergeleitet. Weiters wird in dieser Arbeit auch kurz eine empirische Methode zur Bestimmung der Explosionszeit vorgestellt, um die numerischen Tests mit dem Algorithmus vergleichen zu können. Ist nun eine Approximation für die Explosionszeit bestimmt, so kann man die Lösung der Riccati-Gleichung über eine Approximation mit Hilfe von Polylogarithmen darstellen, was auch numerisch überprüft wird. Leserinnen und Leser, die Berechnungen nachvollziehen wollen, werden sich freuen, denn wider den Usus wird eine detaillierte Darstellung des Source Codes in R, der Implementierung und der dabei aufgetretenen Probleme gegeben.

We present the results of [Gerhold et al. 2018, arXiv:1801.09458v3], showing that the moment explosion time in the rough Heston model in the version introduced by El Euch and Rosenbaum [El Euch, Rosenbaum 2016, arXiv:1609.02108] is finite if and only if it is finite for the classical Heston model. This is mainly motivated by a representation of the characteristic function of the rough Heston model analogous to the classical Heston model by El Euch and Rosenbaum. Therefore, we need to do some analytics on the (not explicit) solution of a fractional Riccati equation which can be transformed into a weakly singular Volterra integral equation of the second kind. Gerhold et al. rigorously show that this solution explodes if and only if the moment generating function of the rough Heston model explodes. Following Gerhold et al., this fact is used to derive an algorithm to approximate the explosion time through a power series ansatz for a special case. Furthermore, an empirical method to identify the explosion time is presented to be able to compare the results. Having computed an approximation of the explosion time we get an approximation of the solution of the Riccati equation via polylogarithms. The reader's sake for reproduction will be satisfied, since detailed insight is given into the implementation and the used source code in R, as well as comments on issues the author was confronted with during the implementation process.