Stochastic processes and LTI systems

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit den Fallstricken der weitverbreiteten Anwendung von aus der deterministischen Signalanalyse stammenden Methoden in der Analyse von Zufallssignalen und überwindet diese, indem sie eine auf verallgemeinerten stochastischen Prozessen basierende Methode der Analyse von Zufallssignalen im Kontext von LTI-Systemen entwickelt. Zu diesem Zweck spezifiziert sie zunächst die erstgenannte Methode und unterzieht sie einer kritischen Betrachtung, bevor verallgemeinerte stochastische Prozesse basierend auf dem Raum der verallgemeinerten Funktionen eingeführt werden und gezeigt wird, wie sich diese durch zufällige Maße und Spektralmaße repräsentieren lassen. Die gewonnenen Erkenntnisse werden verwendet, um ein stochastisches Integral zu konstruieren, welches die Übersetzung der aus der Theorie der LTI-Systeme bekannten und dort für die Formulierung des Zusammenhangs zwischen Eingangsund Ausgangssignalen gebrauchten "deterministischen Faltungsintegrale" in "stochastische Faltungsintegrale" erlaubt, wobei der stochastische Prozess des weißen Rauschens die Rolle des Eingangssignals übernimmt. Motiviert von der fehlenden Allgemeinheit dieses Modells wird klargestellt, inwiefern der Begriff des LTI-Systems schon bei der Formulierung der verallgemeinerten stochastischen Prozesse eine gewichtige Rolle spielt, und diese Tatsache dann benützt, um ein auf der Theorie der verallgemeinerten stochastischen Prozesse basierendes Modell des Zusammenhangs zwischen Eingangsund Ausgangssignalen von LTI-Systemen abzuleiten. Schlussendlich stellt sich heraus, dass dieses Modell mit einer kleinen Einschränkung bezüglich des assoziierten Spektralmaßes für die Klasse der reellwertigen schwach stationären Gaußschen verallgemeinerten stochastischen Prozesse gilt und den Fall des "stochastischen Faltungsintegrals" als Spezialfall enthält.

This work deals with the pitfalls of the widespread use of methods stemming from the study of deterministic signals in the analysis of random signals and overcomes them by developing a method of analyzing random signals in the context of LTI systems based on generalized stochastic processes. For this purpose, the former approach is specified and critiqued before introducing generalized stochastic processes based on the space of generalized functions and showing how they can be represented by random and spectral measures. These findings are used to construct a stochastic integral, which allows to translate the usual "deterministic convolution integrals" used to model the input-output relationship in LTI system theory into "stochastic convolution integrals", where the white noise process plays the role of the input signal. Motivated by the lack of generality of this approach, the present work then goes on to clarify, how the notion of an LTI system is already deeply woven into the fabric of generalized stochastic processes, and, based on this fact, develops a model for the input-output relationship of LTI systems rooted in the theory of generalized stochastic processes. This model eventually turns out to be valid for the class of real-valued wide-sense stationary Gaussian generalized stochastic processes subject to a minor constraint with respect to its spectral measure and contains the case of the "stochastic convolution integral" as a special case.