On fast arbitrage-free approximation of forward contracts

Abstract

Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit der arbitragefreien Approximation von Forward Kontrakten auf Rohstoffmärkten. Der erste Teil dieser Arbeit ist eine ökonomische Einführung, um so dem Leser die Grundlagen der Rohstoffmärkte für fossile Brennstoffe näher zu erläutern. Der darauffolgende Teil beschäftigt sich mit der Erarbeitung von wichtigen Grundlagen, für den Leser, hinsichtlich Hilbertraumwertiger stochastischer Prozesse, dem stochastischen Integral bezüglich eben solcher Prozesse, sowie der Theorie der stochastischen partiellen Differentialgleichungen. Es wird ausgehend vom Heath - Jarrow - Morton - Musiela Modell, welches aus der Zinsstrukturmodellierung bekannt ist und aufgrund seiner Eigenschaften auch für die Modellierung anderer Finanzinstrumente eingesetzt wird, ein Modell für die Approximation von Strom-, Gas- und Ölpreisen vorgestellt. Dem Modell liegt eine stochastische partielle Differentialgleichung zugrunde, welche eine unendlich dimensionale Lösung besitzt. Basierend darauf wird die entsprechende endlich dimensionale Gleichung betrachtet, sowie deren endlich dimensionale Lösung berechnet und deren Konvergenz, sowie Konvergenzgeschwindigkeit eben dieser Lösung gegen die unendlich dimensionale Lösung kalkuliert. Sämtliche Konvergenzberechnungen werden bezüglich der Norm, welche vom inneren Produkt des zugrundeliegenden Hilbertraumes generiert wird, durchgeführt. Anschließend werden die darin vorgestellten Approximationen bezüglich der Supremumsnorm betrachtet und so gezeigt, dass eine Verbesserung der Konvergenzrate, unter zusätzlichen Strukturvorraussetzungen erreicht werden kann. Die erhöhte Konvergenzrate erlaubt es nun computergestützte, nummerische Berechnungen in kürzerer Zeit durchzuführen und somit rascher Entscheidungen treffen zu können, hinsichtlich des Handels mit fossilen Brennstoffen und elektrischem Strom.

This master thesis deals with arbitrage-free approximations of forward contracts in commodity markets. The first part is an economic introduction to illustrate the reader the basics of commoditiy markets, focused on fossil fuels. The next part of this thesis considers the theory of Hilbertspace valued stochastic processes, as well as the stochastic integral with respect to this sort of processes. Finally the concept of stochstic partial differentialequations is explained closer. Based on the Heath – Jarrow – Morton – Musiela model, also called the HJMM model, we introduce an approximation for electricity-, gas- and oilprices. The HJMM model has forst been used for interest rate term structure modelling. Because of its special properties, it is also used to model other types of financial instruments. We start with an stochastic partial differential equation, defined on a seperable Hilbertspace, which has an infinite dimensional solution. Based on this, we consider this stochastic partial differential equation on a finite dimensional subspace, which has a finite dimensional solution. Afterwards it is shown, that this finite dimensional solution is converging against the infinite dimensional solution of the stochastic partial differential equation at the beginning. Moreover the convergence speed is calculated as well. The main part of this master thesis is considering the convergence speed with respect to the supremum norm and additional structure conditions. It is shown, that convergence speed can be increased, compared to the norm, inducted by the inner product of the basic Hilbertspace. The increased convergence rate allows to execute computer based, numerical calculations faster and therewith to improve trading of fossil fuels and electricity.