Path integral methods for strong non-local correlations

Abstract

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit effektiven Feynman-diagrammatischen Methoden für die Beschreibung starker elektronischer Korrelationseffekte in Festkörpern. Exakte numerische Lösungen für wechselwirkende Systeme mit mehr als ein paar Elektronen liegen weit außerhalb der Reichweite heute verfügbarer rechnerischer Ressourcen, wodurch Näherungsmethoden notwendig werden. Effektive Feynman-diagrammatische Methoden wie die Dynamische Vertex Approximation werden oft auf einfache Referenzmodelle angewandt, welche numerisch behandelt werden können. Aus diesen Referenzmodellen werden diagrammatische Größen bestimmt und als Näherung für ihre jeweiligen Gegenstücke im eigentlichen System verwendet. Bisher beschränkten sich derartige Methoden zumeist auf effektive Einteilchenund Zweiteilchen-Diagramme. Diese Arbeit erweitert dieses Wissen um einen Ausdruck für n-Teilchen Vertices (Korrelatoren) für das Falicov-Kimball Modell für beliebige Zahlen n. Dreiteilchen-Diagramme für das Falicov-Kimball und Hubbard Modell wurden versuchsweise ausgewertet und zeigten relevante Korrekturen zu konventionellen Zweiteilchen-Rechnungen. Zusätzlich wurde eine toplogische Klassifikation von Dreiteilchen-Diagrammen vorgenommen, wodurch ein Algorithmus zur Bestimmung des grundlegendsten Dreiteilchen-Diagramms, der vollständig irreduziblen Dreiteilchen-Vertex, angegeben werden konnte. Schließlich wurde der Effekt von äußerer Selbstkonsistenz für das Hubbard Modell im dual fermion Zugang untersucht. Dadurch wird ein besseres Verständnis für die Wahl eines Referenzmodells ermöglicht. Wenig überraschend stellt man fest, dass die Wahl des Referenzmodells einen großen Einfluss auf die theoretische Beschreibung korrelierter Elektronensysteme hat.

This thesis aims at furthering effective Feynman-diagramatic methods for describing correlation effects of electrons in solids. Exact solutions for interacting electron systems with more than a hand full of particles are far beyond the reach of numerical methods. Therefore, approximations are needed. In this regard, effective Feynman-diagrammatic methods, such as the dynamical vertex approximation, use simple auxilliary models, which can be solved numerically. From these, diagramatic quantities are extracted which are used as approximations for their respective counterparts for the system of interest. Hitherto, such methods were for the most part based on effective oneand two-particle diagrams. This thesis expands upon this by providing an expression for n-particle vertices (correlators) for arbitrary numbers of particles n in the Falicov-Kimball model. Three-particle diagrams for the Falicov-Kimball and Hubbard models are evaluated exploratively, showing relevant corrections to the conventional two-particle calculations. Additionally, a systematic topological classification of three-particle diagrams is pursued, culiminating in an algorithm to calculate the most fundamental three-particle diagram: the fully irreducible three-particle vertex. Finally, the effect of the outer self-consistency for the Hubbard model within the dual fermion framework is investigated. This allows for understanding the influence of the auxilliary model better and shows how to update it iteratively. Maybe not surprisingly, the choice of auxilliary system has a strong influence on the theoretical description of correlated electron systems.