Hadwiger integration

Abstract

In dieser Arbeit wird eine Integrationstheorie in Bezug auf die intrinsischen Volumina eingeführt und studiert. Zunächst werden einige elementare Definitionen und Resultate präsentiert, um mithilfe von Hadwigers Theorem die Stellung der intrinsischen Volumina hervorzuheben. Als nächstes führen wir Integrale dieser Bewertungen ein, indem wir sie als endlich additive Maße betrachten. Dies wird als Hadwiger Integration bezeichnet und wurde 2011 von Wright eingeführt. Es stellt sich heraus, dass es keine eindeutige Methode gibt um Hadwiger Integrale von einfachen Funktionen auf stetige Funktionen auszudehnen. Dadurch erhält man untere und obere Hadwiger Integrale, welche Bewertungen auf Funktionalen sind. Allerdings sind die unteren und oberen Integrale stetig in Bezug auf verschiedene Metriken auf der Menge der betrachteten Funktionale. Infolgedessen wird ein Beweis von Baryshnikov, Ghrist und Wright für ein Resultat ähnlich zu Hadwigers Theorem präsentiert. Darüber hinaus betrachten wir einige Integraltransformationen wie zum Beispiel Radon-, Bessel- und Fourier-Transformationen. Basierend auf neueren Arbeiten von Baryshnikov und Ghrist zusammen mit weiteren Mitwirkenden wenden wir diese im Rahmen von Sensor-Netzwerken an. Passende Euler-Integrale erlauben uns dann Ziele in verschiedenen Umgebungen zu zählen und sogar zu lokalisieren.

In this thesis we establish and examine an integration theory with respect to the intrinsic volumes. First some basic definitions and results are given in order to highlight the intrinsic volumes with the help of Hadwiger's characterization theorem. Next, we establish integrals with respect to these valuations by considering them as finitely additive measures. This is called Hadwiger integration and was introduced by Wright in 2011. As it turns out, there is no unique way to extend Hadwiger integrals of simple functions to continuous functions. Therefore, we obtain lower and upper Hadwiger integrals, which are valuations on functionals. However, the lower and upper integrals are continuous with respect to different metrics on the considered set of functionals. Consequently, a proof by Baryshnikov, Ghrist and Wright of a result similar to Hadwiger's classification theorem is presented. Moreover, we will consider some integral transforms such as Radon, Bessel, and Fourier transforms. Based on recent works of Baryshnikov and Ghrist together with other contributors we apply them to the setting of sensor networks. Proper integrals with respect to the Euler characteristic then allow us to count and even localize targets in various environments.