The multidimensional Heston stochastic volatility model based on Wishart processes

Abstract

Diese Diplomarbeit behandelt das eindimensionale stochastische Volatilitätsmodell von Heston ("Heston Stochastic Volatility" Modell genannt) und dessen multivariate Erweiterung, das mehrdimensionale Heston Stochastic Volatility Modell. Während im eindimensionalen Fall der Varianzprozess durch einen Cox-Ingersoll-Ross Prozess gegeben ist, folgt im mehrdimensionalen Heston Stochastic Volatility Modell der Kovarianzprozess einem Wishart Prozess, der erstmals von M.-F. Bru definiert wurde. Beide stochastischen Volatilitätsmodelle gehören zur Klasse der affinen Modelle, die als charakterisierende Eigenschaft eine bedingte charakteristische Funktion von exponentiell affiner Form aufweisen. Diese Arbeit umfasst eine detaillierte Analyse des mehrdimensionalen Heston Stochastic Volatility Modells, wobei unter anderem auch interessante Beziehungen zwischen den Marginalen des mehrdimensionalen Heston Stochastic Volatility Modells und des eindimensionalen Heston Stochastic Volatility Modells hergeleitet werden. Des Weiteren wird die Kurzzeitasymptotik der impliziten Volatilität einer Kaufoption auf ein Asset im eindimensionalen Heston Stochastic Volatility Modell betrachtet. Dabei wird gezeigt, dass die Darstellung der asymptotischen impliziten Volatilität, die von M. Forde und A. Jacquier für das eindimensionale Heston Stochastic Volatility Modell gezeigt wurde, auch auf den mehrdimensionalen Fall erweitert werden kann.

In this thesis we study the one-dimensional Heston stochastic volatility model and its multivariate extension, the so-called multidimensional Heston stochastic volatility model. While the variance process equals the well-known Cox-Ingersoll-Ross process in the one-dimensional setup, the covariance process of the multidimensional Heston stochastic volatility model follows the Wishart process introduced by M.-F. Bru. Both stochastic volatility models belong to the class of affine models whose characterizing property is the exponential affine form of the conditional characteristic function. A detailed study of the multidimensional Heston stochastic volatility model is given, and interesting relations between the marginals of the multidimensional Heston stochastic volatility model and the one-dimensional Heston stochastic volatility model are derived. Moreover, small time asymptotics for the implied volatility of a call written on one asset in the multidimensional Heston stochastic volatility model are considered. We show that an expansion of the asymptotic implied volatility proved by M. Forde and A. Jacquier for the one-dimensional Heston stochastic volatility model can be extended to the multidimensional one.