Kandolf, C. (2019). Numerical solution of the Liouville-Von Neumann equation using transformed coordinates [Diploma Thesis, Technische Universität Wien]. reposiTUm. http://hdl.handle.net/20.500.12708/78795
Von Neumann-Gleichung; Dichtematrix; Elektronischer Transport; Resonanztunneldiode; Differentialgleichungen; Diskretisierung
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von Neumann equaton; density matrix; electronic transport; resonant tunneling diode; differential equation; discretisation
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Abstract:
Diese Arbeit befasst sich mit der Entwicklung einer numerischen Lösungsmethode für die Liouville-von Neumann-Gleichung zur Beschreibung offener Quantensysteme mittels transformierten Koordinaten. Hierfür werden die Ortsraum-Koordinaten der Dichtematrix in eine mittlere und eine Differenz-Koordinate umgewandelt. Als Randbedingung werden die bereits etablierten Randbedingungen für offene Quantensysteme, welche von Frensley zur Lösung der Wigner-Gleichung vorgeschlagen wurden, angewandt. Die transformierte Dichtematrix steht direkt mit der Wigner-Funktion über die Fourier-Transformation in Relation und zeigt, aufgrund einer spärlich besetzten Systemmatrix von niedrigem Rang, numerische Vorzüge. Die Differenzialgleichung wird mittels analytischer Integration über ein Element des Simulationsgitters und bilinearer Interpolation der Unbekannten diskretisiert. Zur Vergleichbarkeit der neuen Lösungsmethode wurde die Lösung der diskreten Wignergleichung ebenfalls im Rahmen dieser Arbeit implementiert. Zum Beurteilen der Performance des entwickelten Algorithmus wurde die Resonanztunneldiode, deren Verhalten wohlbekannt ist, simuliert und die Ergebnisse mit den Resultaten der, mittels Finiten-Differenzen gelösten Wigner-Gleichung, verglichen. Die Lösungen zeigen bemerkenswert hohe Übereinstimmung im Gleichgewichtszustand. Dabei ist der Rechenaufwand der neuen Methode im Vergleich mit der Lösung der diskreten Wignergleichung signifikant geringer. Die Lösung im Nichtgleichgewicht zeigt unphysikalische Eigenschaften und große Abweichungen von der Finiten-Differenzen-Lösung. Die Entdeckung dieser unphysikalischen Lösung führte zu weiteren Untersuchungen außerhalb dieser Arbeit, welche zur Identifikation eines fundamentalen Problems der Finite-Differenzen Wigner-Gleichung und zu der korrekten Formulierung dieser Gleichung führten.
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This study is devoted to the development of a numerical algorithm for the solution of the Liouville-von Neumann equation for open quantum systems. For this purpose the coordinates of the density matrix are transformed to the central and difference coordinates, and the well established inflow boundary conditions for open systems, originally proposed for the Wigner equation, are applied. The transformed density matrix is directly related to the Wigner function by Fourier transformation. As a result, the Liouville-von Neumann equation in the transformed coordinate space shows numerical advantages, due to a significant smaller sparse system matrix. The equation is discretised by analytical integration over an element of the simulation grid assuming a bilinear interpolation of the unknown. The finite difference Wigner method is also implemented in this work in order to facilitate comparison. To evaluate the performance of the developed algorithm, a resonant tunnelling diode is considered as test case and the obtained simulation results are compared with those of the finite difference Wigner equation. A remarkably good agreement of the results could be achieved in the equilibrium case. Thereby, the computational effort of the novel approach is significantly lower compared to the discrete Wigner function approach. However at non-zero bias voltages, in the non-equilibrium case, the numerical results for the transformed density matrix show implausible physical results and differ largely from the finite difference Wigner solution. The discovery of this un-physical solution has stimulated further research beyond this thesis, which has led to the identification of a fundamental problem of the finite difference Wigner equation and to the correct formulation of that equation.
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Additional information:
Abweichender Titel nach Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers