Model predictive and flatness-based path following control and manifold stabilization with applications

Abstract

Die Stabilisierung von Mannigfaltigkeiten ist ein wichtiger Teilbereich der Regelungstheorie. Eine Mannigfaltigkeit wird dabei als ein geometrisches Objekt verstanden, das eine Dimension größer als null aufweist. Das bedeutet, dass an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit eine Bewegung in eine oder mehrere unabhängige Richtungen möglich ist, ohne sie zu verlassen. Für die Regelungstheorie sind diese Mannigfaltigkeiten hauptsächlich in Verbindung mit dynamischen Systemen und dabei vor allem im zugehörigen Zustands- oder Ausgangsraum von Interesse. In diesem Zusammenhang ist das primäre Ziel, dass die Mannigfaltigkeit anziehend für den Zustand oder Ausgang des Systems wirkt. Idealerweise erreicht der zugehörige Regler auch, dass die Mannigfaltigkeit eine Invariante im geschlossenen Kreis darstellt. Dies impliziert unter Einhaltung von gewissen zusätzlichen Kriterien, dass der Zustand oder Ausgang die Mannigfaltigkeit nicht wieder verlässt sobald er sich einmal auf ihr befindet. Darüber hinaus soll der Regler, soweit grundsätzlich möglich, eine gewünschte Bewegung auf der Mannigfaltigkeit realisieren. Die Stabilisierung von eindimensionalen Mannigfaltigkeiten wird oft als Pfadfolgeregelung bezeichnet. Diese befasst sich also mit Kurven, auf denen sich der Zustand oder Ausgang des Systems befinden soll. Im Gegensatz zur Trajektorienfolgeregelung ist keine zeitliche Parametrierung der Kurve gegeben. Stattdessen kann die Bewegung entlang der üblicherweise als Pfad bezeichneten Kurve auf allgemeinere Arten spezifiziert oder als Freiheitsgrad dem Regler überlassen werden. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der Entwicklung von drei verschiedenen Regelungskonzepten für die Stabilisierung von Mannigfaltigkeiten einschließlich der Pfadfolgeregelung. Die resultierenden Verfahren sind für nichtlineare zeitkontinuierliche dynamische Systeme mit Beschränkungen und Mannigfaltigkeiten und Pfade im Zustands- und Ausgangsraum ausgelegt. Als Erstes wird eine systematische Methode zum Entwurf von Reglern für die Stabilisierung von Mannigfaltigkeiten in flachen Ausgangsräumen entwickelt. Diese Methode ist für die Klasse der flachen (nichtlinearen) Systeme anwendbar und bedient sich einer Transformation in eine so genannte transversale Normalform. Letztere besteht aus zwei Sätzen von Koordinaten, die die Bewegung des Systems transversal und tangential zur Mannigfaltigkeit repräsentieren. Die Transformation nutzt die Äquivalenz zwischen flachen und vollständig erreichbaren linearen Systemen. Daraus resultiert eine transversale Normalform mit einer linearen transversalen und tangentialen Dynamik. Diese ermöglichen einen unkomplizierten Reglerentwurf für die Stabilisierung der Mannigfaltigkeit und für das Erreichen einer gewünschten Bewegung auf ihr mit einfach nachzuweisender Stabilität des geschlossenen Regelkreises. Die Stabilisierung von Mannigfaltigkeiten unter Berücksichtigung von Systembeschränkungen stellt das zweite große Thema dieser Arbeit dar. Dazu wird ein maßgeschneidertes modellprädiktives Regelungskonzept basierend auf transversalen Normalformen entwickelt. Dieses Konzept ist für alle Systeme, Mannigfaltigkeiten und Pfade sowohl im Zustands- als auch im Ausgangsraum anwendbar, für die eine entsprechende transversale Normalform gefunden werden kann. Unter anderem stellt die entwickelte Methode für die Stabilisierung von Mannigfaltigkeiten in flachen Ausgangsräumen eine passende Grundlage dar. Der modellprädiktive Regler weist eine neuartige Struktur mit zwei Optimalsteuerungsproblemen auf, deren Lösungen sequenziell bestimmt werden. Diese spezielle Struktur bringt den Vorteil mit sich, dass unter den vorhandenen Systembeschränkungen die eigentliche Stabilisierung der Mannigfaltigkeit gegenüber der tangentialen Bewegung bevorzugt wird. Der optimierungsbasierte Ansatz ermöglicht darüber hinaus die systematische Berücksichtigung von Gütekriterien. Die Stichhaltigkeit der vorgeschlagenen Methode wird durch einen Konvergenzbeweis untermauert. Das dritte Regelungskonzept beschäftigt sich mit Pfadfolgeregelung für parametriert gegebene Pfade im Ausgangsraum von dynamischen Systemen. Die Lösung dieser Aufgabenstellung mit modellprädiktiver Regelung erlaubt die systematische Berücksichtigung von Beschränkungen sowohl des Systems als auch hinsichtlich der Bewegung entlang des Pfades. Eine parametrierte Darstellung einer speziellen Untermannigfaltigkeit des Zustandsraumes stellt die Basis für verschiedene modellprädiktive Reglerformulierungen dar, die keine Transformation auf eine transversale Normalform benötigen. Diese Untermannigfaltigkeit enthält all jene Zustände, für die der Ausgang des Systems am Pfad liegt. Darüber hinaus ist sie eine Invariante für die gesteuerte Systemdynamik, wobei eine dazugehörige Stellgröße stets existiert. Ein spezielles Hilfssystem dient der Beschreibung der Bewegung entlang des Pfades und ihrer Vorgabe in gewünschter Form. Für die Pfadfolgeregelung von schnellen, komplexen Systemen werden echtzeitfähige Varianten der modellprädiktiven Reglerformulierungen entwickelt. Diese sind ausgelegt für eine Neuberechnung der Stellgröße in sehr kurzen Zeitabständen. Ein einfaches System einer Punktmasse und ein aufwendiger Turmdrehkran im Labormaßstab dienen als Anwendungsbeispiele für die drei entwickelten Regelungskonzepte. Diverse Testfälle zur Stabilisierung von Mannigfaltigkeiten einschließlich der Pfadfolgeregelung werden dafür untersucht. Die so erhaltenen simulativen und experimentellen Ergebnisse unterstreichen die Umsetzbarkeit, Leistungsfähigkeit und vielseitige Anwendbarkeit der vorgeschlagenen Regelungskonzepte.

The stabilization of manifolds is an important topic within the field of control theory. In this context, a manifold is regarded to be a geometric object with dimension greater than zero. This means that at every point belonging to the manifold, there exists at least one independent direction of movement such that it is not left. For control theory, essentially manifolds in connection with dynamical systems are of interest. Specifically, manifolds in the state or output space of dynamical systems are most frequently considered. In this regard, the primary aim of manifold stabilization is to make the manifold attractive for the output or state. Ideally, the corresponding controller also renders it invariant under the closed-loop dynamics. This property encompasses that the manifold is never left again once the state or output lies on it, provided that some additional criteria are fulfilled. Moreover, the tangential movement on the manifold is of interest. As far as possible the controller is supposed to achieve a desired movement of the state or output on the manifold. The special case of stabilizing a one-dimensional manifold is often also referred to as path following control. From a different point of view, path following control is concerned with curves on which the state or output of the underlying dynamical system is supposed to be. In contrast to trajectory tracking control, no a priori time-parameterization of the curve is existent. Instead, the movement along the curve, in this context usually referred to as path, can be specified in more general desired ways or left as a degree of freedom for the path following controller. This work deals with the development of three different concepts for manifold stabilization, including path following control. The resulting methods are designed for nonlinear continuous-time dynamical systems together with manifolds and paths in the corresponding state and output space. Furthermore, they allow to methodically consider system constraints. Firstly, the attention is directed to the large class of flat systems. A systematic controller design methodology for manifold stabilization in flat output spaces is developed. This methodology builds on transforming the original system description into a so-called transverse normal form. The transverse normal form consists of two sets of coordinates describing the motion of the system transverse and tangential to the manifold. For the transformation to transverse normal form the equivalence between flat systems and linear controllable ones is used. This results in a linear transverse and tangential dynamics constituting the transverse normal form. Hence, the design of the controller for stabilizing the manifold and achieving a desired movement on it is possible in a straightforward way. Furthermore, the proof of stability of the closed-loop system is elementary. Secondly, the investigations are extended to manifold stabilization in consideration of system constraints. To this end, a tailored model predictive control scheme based on transverse normal forms is developed. It is applicable to all types of systems, manifolds, and paths in either the state or output space for which an appropriate transverse normal form can be obtained. Amongst others, the developed method for manifolds in flat output spaces proves as a suitable basis. The model predictive controller utilizes a novel structure consisting of two optimal control problems which are solved sequentially at each recalculation instant. This special structure brings about the favorable property that, under the given system constraints, the actual stabilization of the manifold is prioritized over the tangential movement. Due to the optimization-based approach, the method is additionally able to account for desired performance criteria. To enhance the validity of the proposed concept, a proof of convergence is included. Thirdly, the focus is directed to path following control for parameterized paths in the output space of dynamical systems. Model predictive control is utilized for the solution of the problem enabling to respect constraints regarding the system and the movement along the path. To this end, a parameterized representation of the so-called zero path error manifold is derived. This manifold constitutes a controlled invariant subset of the state space for which the output lies exactly on the path. It is the foundation for the developed model predictive control formulations. Furthermore, a so-called auxiliary system is included to describe the movement along the path and to influence it in a desired way. The proposed model predictive controllers do not require the transformation of the system dynamics into a transverse normal form, i.e., they directly use the original system description. Real-time feasible variants of the model predictive control formulations are developed. They are applicable to constrained path following control of complex fast systems with high recalculation rates of the control input. The simple system of a point-like mass and an elaborate laboratory tower crane serve as examples for all three developed control concepts. Several test cases for manifold stabilization, including path following control, are investigated for these applications. The obtained simulation and experimental results underline the feasibility, performance, and versatile applicability of the proposed control concepts.