The stress tensor in the augmented plane wave based methods and its implementation in the WIEN2k code

Abstract

In dieser Arbeit präsentiere ich eine detaillierte Ableitung des Formalismus für den Stresstensor in nicht-relativistischen “full potential augmented plane wave (APW)“ basierenden Methoden. Dieser Formalismus wurde dann in das WIEN2k-Programm programmiert und für verschiedene Festkörper getestet. Nach einer Einleitung in die APW-methode und der Berechnung der Gesamtenergie wird die Ableitung derselben nach dem Strain genauestens hergeleitet und die entsprechenden Gleichungen so weit wie möglich vereinfacht. Die Beiträge von kinetischer, potentieller und austausch-korrelation Energie werden einzeln abgeleitet und die Besonderheiten diskutiert, die durch die Teilung in Core- und Valenzelektronen, die Aufteilung des Raumes in Atomkugeln und einen Zwischenbereich, den endlichen (positionsabhängigen) Basissatz und die Unstetigkeit der Ableitung der Basisfunktionen am Kugelrand auftreten. Die Implementation für die LDA Näherung wurde für die GGA Näherung verallgemeinert, wobei einige zusätzliche Terme auftreten. Schließlich habe ich die Implementation durch einen Vergleich der Resultate des Stresstensors mit jenen aus Gesamtenergieberechnungen getestet. Es wurden hydrostatische und nicht-hydrostatische Bedingungen angewendet und die Genauigkeit auch bei endlichem Druck überprüft. Im Vergleich zu Ergebnissen aus der Gesamtenergie haben die berechneten Drücke einen typischen Fehler von 1-3 kbar, was aber auf entsprechend abgeleitete Größen wie z.B. die Gleichgewichtsgitterkonstanten kaum einen nennenswerten Einfluss hat. Ich habe auch die Konvergenz des Stresstensors mit der Größe des Basissatzes getestet und wie erwartet ein besseres Verhalten der APW+lo Methode gegenüber der LAPW Methode gefunden. Dennoch muss man den Basissatz im Vergleich zu Gesamtenergieberechnungen leicht verbessern,während andere Konvergenzparameter gleich gewählt werden können. Für Metalle wie Al liefert die Fermi-Dirac Methode genauere Ergebnisse als die Tetraedermethode und konvergiert mit weniger k-Punkten. Schlussendlich wird unser Formalismus mit den vorhergehenden Versuchen in der Literatur verglichen und Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede hervorgehoben.

In this work I present a detailed derivation of the formalism of the stress tensor fornon-relativistic full potential augmented plane wave (APW) based methods. This formalism has been implemented into the WIEN2k code and has been thoroughly tested for various solids. After an introduction into the APW methods and the calculation of the total energy, the derivative of the latter with respect to strain is derived in full detail and simplified as much as possible. The individual contributions due to kinetic, electrostatic and exchange-correlation energy parts are given and the complications due to the decomposition into core and valence states, the decomposition of space into atomic spheres and an interstitial region, the finite (position dependent) basis set and eventually the discontinuity in slope of the basis functions across the sphere boundary in the APW+lo method are discussed in full detail. The implementation for the LDA approximation has been generalized for the GGA approximations of DFT, where an additional contribution to the stress tensor arises. Finally I tested the implementation by comparing the result of the stress tensor formalism with the corresponding results derived from total energy calculations. Both, hydrostatic and non-hydrostatic conditions have been applied and the accuracy of individual stress components has also beentested at finite strain. Typically the calculated stress (pressure) deviates from the one obtained from fits to total energy calculations by less than 1-3 kbar, which does not lead to any significant influence on eg. equilibrium lattice parameters. I also tested the convergence of the stress tensor with respect to basis set, confirmed the superior convergence of the stress tensor in the APW+lo method as compared to LAPW, but still found it necessary to increase the basis set size a bit as compared to total energy calculations. Other convergence parameters remain the same as for total energies. For metals like aluminum the effect of the tetrahedron and Fermi-Dirac (FD) methods on the calculated stress is studied and it was found that the FD method converges much faster with respect to k-points and yields in general more accurate results. Finally, a comparison of our formalism with previous attempts in literature on this topic is given and similarities and differences are pointed out.