Abstände zwischen Primzahlen

Abstract

Eine sehr einfache Frage auf dem Gebiet der Primzahlen ist die nach den Abständen zwischen Primzahlen. Betrachtet man die ersten Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... entdeckt man schnell, dass es auffällig viele Primzahlen mit Abstand 2 gibt. Die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlpaare mit Abstand 2 gibt, ist naheliegend, kann jedoch bis heute nicht bewiesen werden. Zu dieser Vermutung und zu weiteren Abwandlungen bzw. Verallgemeinerungen gibt es unzählige Teilergebnisse. Ein großer Schritt gelang 2005 mit dem Artikel von Goldston, Pintz und Yildirim. Aufbauend auf diesem Artikel überraschte Zhang im Jahr 2014 mit dem Beweis, dass es unendlich viele Primzahlen mit Abstand maximal 70.000.000 gibt. Ausgehend von diesem Ergebnis entstand ein online organisierter Zusammenschluss (Polymath8), der dieses Ergebnis in vielen Details verbesserte. Eine weitere naheliegende Frage ist die nach besonders großen Abständen zwischen Primzahlen. Einige Ergebnisse lassen sich mit sehr einfachen Siebmethoden erreichen und stammen bereits aus der Antike. Doch auch auf diesem Gebiet gab es in letzter Zeit eine bedeutende Weiterentwicklung von Ford, Green, Konyagin und Tao. Diese Arbeit beginnt mit einigen theoretischen Grundlagen, auf welchen die nachfolgenden Kapitel aufbauen. Danach wird ein kurzer Überblick über die geschichtlichen Ereignisse gegeben. Als Ausgangspunkt für die Resultate von Goldston, Pintz und Yildirim werden wir ausgewählte Methoden aus der Siebtheorie betrachten. Mit Hilfe dieser Grundlagen werden wir weitere Ideen und Zusammenhänge erarbeiten.

A simple question in the field of prime numbers is about prime gaps. If one looks at the first primes 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... there are a lot of primes with difference 2. The twin prime conjecture is not far to seek, but has yet to be proven. However, there are a lot of different partial results and conjectures concerning this topic. A big leap forward was the paper from Goldston, Pintz and Yildirim in 2005. It also was a starting point for Zhang who surprised everybody with his paper in 2014, stating that there are infinite many primes with gap at most 70.000.000. Based on this result an online collaboration among mathematicians (Polymath8) improved this bound with many different techniques. Another interesting question is about large gaps between primes. Some results are based on simple sieve methods and date back to ancient times. However, there were also some major improvements very recently by Ford, Green, Konyagin and Tao. This thesis begins with some theoretical ground work as basis for the following chapters. After that a short overview over historical events is given. As a starting point for the results from Goldston, Pintz and Yildirim we will look at selected methods from the field of sieve theory. Using these basic techniques we will develop some ideas and connections.