Gegenbeispiele zu drei Vermutungen über Kategorizität

Abstract

Die vorliegende Arbeit ist eine Ausarbeitung des Papers "Counterexamples to a conjecture on relative categoricity" von Evans und Hewitt, wobei das Ziel war, die dort zum Teil nur angedeuteten Ideen genau auszuführen. Das Paper von Evans und Hewitt wurde als Anhang zu "Omega-categoricity, relative categoricity and coordinatisation- von Hodges, Hodkinson und Macpherson verfasst. Deshalb lag ein weiterer Schwerpunkt darauf, den theoretischen Rahmen, der dort eingeführt wird, wiederzugeben. Wir definieren zunächst, wann eine Theorie koordinatisiert, koordinatisierbar, beziehungsweise relativ kategorisch über ein Prädikat P ist. Es stellt sich schnell heraus, dass eine koordinatisierbare Theorie stets relativ kategorisch ist und jedes ihrer Modelle natürlich über P ist. Damit meinen wir, dass die Automorphismengruppe von P in natürlicher Weise in die Automorphismengruppe der ganzen Struktur eingebettet werden kann. Wir stellen die Vermutung auf, dass auch die umgekehrte Richtung gilt. Im zweiten Teil der Arbeit konstruieren wir ein Gegenbeispiel zu dieser Vermutung. Hierzu ist es sinnvoll Automorphismengruppen als topologische Gruppen zu behandeln. Wir konstruieren zunächst eine proendliche Gruppe G mit einem endlichen Normalteiler F, sodass F ein Komplement in G hat und jedes solche Komplement dicht ist. Diese pathologische proendliche Gruppe stellt dann die Automorphismengruppe unseres Gegenbeispiels dar. Durch einige zusätzliche Überlegungen können wir mit Hilfe von G sogar ein omega-kategorisches Gegenbeispiel zu der Vermutung konstruieren. Als interessantes Nebenergebnis erhalten wir zwei omega-kategorische Strukturen, deren Automorphismengruppen zwar isomorph sind, aber nicht topologisch isomorph.

The aim of this master thesis is to refute a conjecture about relative categoricity, which was stated by Hodges, Hodkinson and Macpherson in their paper "Omega-categoricity, relative categoricity and coordinatisation". We first introduce relatively categorical, coordinatised and coordinatisable theories after the terminology of Hodges. We show some basic properties, including that every coordinatisable theory is relatively categorical and natural. This leads to the conjecture that also the opposite direction holds. In the second part of the master thesis we build a counterexample to this conjecture. Therefore we construct a profinite group G with a nontrivial finite normal subgroup F, which has a complement in G, but no closed complement. The canonical structure of this group is a strongly minimal structure, which is natural without being coordinatisable. Using the group G we are even able to construct an omega-categorical counterexample to the conjecture. As an interesting side result we get two omega-categorical structures whose automorphism groups are abstractly isomorphic, but not topologically isomorphic. All these results are based on the paper "Counterexamples to a conjecture on relative categoricity", written by Evans and Hewitt.