Regularisierungsmethoden für Differential-Algebraische Gleichungssysteme

Abstract

Durch die Verwendung objektorientierter Simulationswerkzeuge zur Modellierung physikalischer oder mechanischer Systeme entstehen differential-algebraische Gleichungssysteme mit hohem differentiellem Index. Der differentielle Index gibt die minimale Anzahl an Ableitungen an, die notwendig sind, um aus dem resultierenden differenzierten System ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem extrahieren zu können. Das numerische Lösen von differential-algebraischen Gleichungssystemen ist mit herkömmlichen Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen im Allgemeinen sehr komplex und daher aufwändig bzw. kann sogar unmöglich sein. Daher sind Methoden notwendig, um diesem Problem zu begegnen, was zur sogenannten Indexreduktion führt. Das Ziel der Indexreduktion, ist das differential-algebraische Gleichungssystem in ein differential-algebraisches Gleichungssystem mit niedrigerem Index beziehungsweise ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem umzuwandeln. Diese Arbeit soll einen Überblick über gängige Regularisierungsmethoden bieten, wobei eine Klassifikation der verschiedenen Ansätze vorgenommen wird. Diese Klassifikation unterteilt die verschiedenen Ansätze in drei Bereiche: Indexreduktion mithilfe von Differentiation, Stabilisierung der numerischen Lösung durch Projektion und (lokale) Transformation des Zustandsraums. Nach der Klassifikation wird jeder Ansatz im Detail erklärt und vorgestellt, wobei auch Vor- und Nachteile der verschiedenen Methoden diskutiert werden. Bei der Indexreduktion mithilfe der Differentiation werden drei verschiedene Methoden betrachtet: Differentiation und Ersetzen der Zwangsbedingung, Baumgarte-Methode und Pantelides-Algorithmus. Bei dem Ansatz mithilfe von Projektionen werden zwei verschiedene Methoden betrachtet, die sogenannte orthogonale Projektionsmethode und die symmetrische Projektionsmethode. Die Idee der Transformation des Zustandsraums ist, ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem auf einer Mannigfaltigkeit zu erhalten. Zum Vergleich der verschiedenen Methoden werden anschließend die vorher beschriebenen Ansätze anhand von Beispielen vorgeführt. Bei den beiden Beispielen handelt es sich um mechanische Systeme: einerseits um die Bewegungsgleichungen eines Pendels auf einer Kreisbahn in kartesischen Koordinaten, andererseits um die Bewegungsgleichungen eines Doppelpendels in kartesischen Koordinaten, wobei dieses System ein chaotisches Verhalten zeigt. Für die Vergleichbarkeit der verschiedenen Methoden werden die numerisch erhaltenen Lösungen und die Abweichung zur Zwangsbedingung betrachtet. Dadurch können die unterschiedlichen Ansätze hinsichtlich der erhaltenen Lösungen gegenübergestellt werden. Schließlich kann dadurch für das gegebene differential-algebraische Gleichungssystem entschieden werden, welche Methode sich am besten für das Lösen ebendieses eignet.

The use of object-oriented simulation tools for modelling of physical or mechanical systems leads to systems of differential-algebraic equations with a high differential index. The differential index indicates the minimal number of differentiations of the system, which are necessary to extract a system of ordinary differential equations from the differentiated system. In general the numerical solution of differential-algebraic equation systems with high index by conventional solution methods for ordinary differential equations is very complex or may even be impossible. Therefore methods for solving this problem are necessary, which leads to the so-called index reduction. The aim of the index reduction is to convert the system of differential-algebraic equations into a system of differential-algebraic equations of lower index or a system of ordinary differential equations. This work aims to provide an overview of common regularisation methods. Additionally, a classification of these different approaches is done. This classification divides the different approaches into three areas: index reduction with the use of differentiation, stabilization of the numerical solution by projection and (local) transformation of the state space. According to the classification each approach is presented and explained in detail. Then advantages and disadvantages of the different methods are discussed. Three different methods of index reduction with the use of differentiation are considered: differentiation and replacement of the constraint, the Baumgarte-Method and the Pantelides-Algorithm. There are two different methods using projections, called the orthogonal projection method and the symmetric projection method. The idea of the method using transformation of the state space is to obtain a system of ordinary differential equations on a manifold. In order to compare the different methods, the approaches described above are demonstrated by examples. The two examples are mechanical systems. On the one hand the equations of the motion of a pendulum on a circular path in Cartesian coordinates are considered. On the other hand, the equations of motion of the double pendulum in Cartesian coordinates, which shows chaotic behaviour, are used. For the comparison of the different methods, the obtained numerical solutions and the deviation from the constraint equations are considered. Therefore the numerical solutions of the distinct approaches can be compared. Finally it is possible to decide which method is suitable for solving the given system of differential-algebraic equations.