Untersuchung fraktaler Strukturen mittels Martingalmethoden

Abstract

Den Ausgangspunkt der vorliegenden Arbeit bildet das 15. Kapitel des Buches "`Fractal Geometry"' von Kenneth Falconer, in welchem der Autor andeutet wie Martingalmethoden bei der Dimensionsbestimmung zufälliger fraktaler Strukturen eingesetzt werden können. Seine Voraussetzungen können zwar noch abgeschwächt werden, wesentliche Beweisideen sind aber bereits aufgezeigt. Weitere Untersuchungen zum Thema fand ich bei Graf, Mauldin und Williams, Falconer und Edgar.<br />Im 1. Kapitel der vorliegenden Arbeit werden die Grundideen der Dimensionsuntersuchung unter etwas schwächeren Voraussetzungen als bei Falconer anhand zufälliger Cantormengen vorgestellt. Die dort gezeigten Beispiele werden im Weiteren verwendet um neu eingeführte Begriffe zu motivieren oder Gegenbeispiele zu konstruieren.<br />Im 2. Kapitel wird zunächst ein sehr allgemeiner Apparat zur Beschreibung zufälliger Fraktale aufgebaut und dann der für die weitere Arbeit interessante Fall der "statistischen Selbstähnlichkeit" vorgestellt, eine Verallgemeinerung der in Hutchinsons grundlegender Arbeit über deterministische Fraktale verwendeten Selbstähnlichkeit. Im 3. Kapitel werden Martingalmethoden verwendet um die fast sichere Dimension solcher statistisch selbstähnlicher Mengen zu studieren. Ein wesentliches Resultat ist die Verallgemeinerung der Ähnlichkeitsdimension aus der Theorie der deterministischen Fraktale. Im 4. Kapitel wird eine Anwendung martingaltheoretischer Methoden bei der Untersuchung deterministischer Fraktale aufgezeigt, genauer wird gezeigt, dass zwei deterministische Cantormengen selber Dimension nicht bi-Lipschitz-Äquivalent sein müssen und einige notwendige Forderungen für bi-Lipschitz-Äquivalenz abgeleitet, wobei der Martingalkonvergenzsatz eine wichtige Rolle spielt.<br />

The idea of writing this paper was born when reading the 15th chapter of Kenneth Falconers book "Fractal Geometry", where the author describes how martingale methods can be used to calculate the almost sure dimension of random cantor sets. He did this under quite restrictive conditions. With the help of papers by Graf, Mauldin, Williams, Falconer and Edgar I tried to generalise this, first in chapter I random Cantorsets are studied. Later I apply similar methods on "statistic self similar sets". Martingale methods are used, the reader will for example find in chapter 3 a martingale, that is Lp-bounded for all p>0, but not L-\infty bounded.<br />In the last chapter martingale methods are used to show a result about deterministic fractals, which sound surprising at the first moment.<br />