Title: A numerical solver for the multivariate Black-Scholes problem using the multigrid method
Language: English
Authors: Satke, Claudia 
Qualification level: Diploma
Keywords: Optionspreis; Black-Scholes-Problem; multivariat; mehrdimensional; Multi-Asset-Optionen; Finite-Differenzen-Methode; Mehrgitterverfahren; MATLAB
option pricing; Black-Scholes problem; multivariate; multidimensional; multi-asset options; finite-difference method; multigrid method; MATLAB
Advisor: Praetorius, Dirk
Issue Date: 2009
Number of Pages: 123
Qualification level: Diploma
Abstract: 
Diese Diplomarbeit untersucht die Black-Scholes-Gleichung für Multi-Asset-Optionen mit einer beliebigen Anzahl Underlyings und entwickelt dafür ein numerisches Lösungsverfahren, welches auf einer Finite-Differenzen-Diskretisierung basiert und das Mehrgitterverfahren zur iterativen Lösung der resultierenden großen, schwach besetzten linearen Gleichungssysteme einsetzt. Der Schwerpunkt liegt darauf, einen numerischen Algorithmus zu entwerfen, in dem die Anzahl der Underlyings, d.h. die Raumdimension der partiellen Differentialgleichung, einen bloßen Parameter darstellt und der somit für jede beliebige Anzahl Underlyings anwendbar ist. Es wird eine vektorisierte MATLAB-Implementierung dieses Algorithmus vorgestellt und für realistische Optionsbewertungen mit einem, zwei und drei Underlyings getestet. Theoretische Betrachtungen zu Beginn beinhalten Lösbarkeits- und Eindeutigkeitsaussagen für die multivariate Black-Scholes-Gleichung und deren Einschränkung auf ein beschränktes Gebiet, sowie die Herleitung einer Abschätzung des Lokalisationsfehlers.

This work examines the Black-Scholes partial differential equation (PDE) for multi-asset options on an arbitrary number of underlying assets and develops a numerical solution method based on a finite-difference discretisation, involving the multigrid method for iteratively solving the resulting large sparse systems. The emphasis is on designing a numerical algorithm that involves the number of underlying assets, i.e. the spatial dimension of the PDE, as a mere parameter and is thus simultaneously applicable to any number of underlying assets. A vectorised MATLAB implementation of this algorithm is presented and tested on realistic pricing of options on one, two, and three underlyings. Theoretical considerations at the outset involve solvability and uniqueness results for the multivariate Black-Scholes PDE and its truncation to a bounded domain and the derivation of a localisation error estimate.
URI: https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-24332
http://hdl.handle.net/20.500.12708/8996
Library ID: AC05041191
Organisation: E101 - Institut für Analysis und Scientific Computing 
Publication Type: Thesis
Hochschulschrift
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