Combining supervaluation and fuzzy logic based theories of vagueness

Abstract

Vagheit ist ein allgegenwärtiges Phänomen unserer Sprache und unseres Denkens. Das Schlussfolgern aus vager Information ist daher äußerst relevant für Informationssysteme und für Künstliche Intelligenz.<br />Diese Arbeit beschäftigt sich mit nichtklassischen Logiken für das Schlussfolgern in vagen Kontexten.<br />Supervaluationismus ist eine von mehreren Theorien der Vagheit, die in der analytischen Philosophie diskutiert werden. Die Idee dahinter ist, dass alle Möglichkeiten berücksichtigt werden sollen, eine vage Aussage vollständig präzise zu machen. In jeder Präzisierung werden Formeln wie in der klassischen Logik interpretiert. Vagheit wird durch Präzisierungsräume, d.h. durch Mengen verschiedener Präzisierungen, modelliert. Der supervaluationale Wahrheitsbegriff ist Superwahrheit, welche als Wahrheit in allen Präzisierungen definiert wird. Aufgrund der Ähnlichkeiten zur Kripke-Semantik, ergibt sich aus diesem Ansatz eine modale Logik.<br />Fuzzy-Logiken stammen ursprünglich aus der Kontrolltechnik und sind eine Klasse mehrwertiger Logiken. Fuzzy Logik hat zwei Hauptbestandteile: Zum einen wird das Einheitsintervall als die Menge der möglichen Wahrheitswerte verwendet und zum anderen ergibt sich der Wahrheitswert von Formeln durch Wahrheitsfunktionen. Wir betrachten jene Fuzzy-Logiken, bei denen die Wahrheitsfunktion der Konjunktion eine stetige T-Norm ist und auch die Wahrheitsfunktionen der restlichen Konnektive vollständig durch die Wahl der T-Norm bestimmt werden.<br />Fuzzy-Logiken werden oft um den Operator [Delta] erweitert, der angibt, ob eine Formel den Wahrheitswert 1 erhält. Die wichtigsten Fuzzy-Logiken für diese Arbeit stellen die Lukasiewicz-Logik und die Gödel-Logik dar.<br />Wir zeigen, dass die Gödel-Logik in einem gewissen, natürlichen Sinn die einzige "Logik des Vergleichs" ist.<br />Wir kombinieren Supervaluationismus und Fuzzy-Logik zu einer hybriden Logik, indem wir jeden Präzisierungsraum mit einem Maß auf seiner Menge von Präzisierungen ausstatten. Wir bestimmen den Wahrheitswert jeder propositionalen Variable durch das Maß jener Präzisierungen, in denen sie als wahr erachtet wird. Die Wahrheitsfunktionen der Konnektive werden, wie in der Fuzzy-Logik, durch eine T-Norm bestimmt. Auf diese Art und Weise erhalten wir eine hybride Logik für jede stetige T-Norm.<br />Weiters fügen wir einen modalen Operator S hinzu, der angibt, ob eine Formel im Präzisierungsraum superwahr ist.<br />Wir erhalten eine Normalform für die hybride Logik, bei der S-Operatoren nicht geschachtelt werden müssen. Wir zeigen außerdem, dass die Gödel-Logik mit [Delta]-Operator in die hybride Lukasiewicz-Logik eingebettet werden kann und dass die hybride Lukasiewicz-Logik in die Lukasiewicz-Logik mit [Delta]-Operator eingebettet werden kann. Darüber hinaus betrachten wir bestimmte Einschränkungen für Präzisierungsräume und zeigen Folgendes: Die hybride Lukasiewicz-Logik ist die einzige hybride Logik, in der Wahrheit in allen Präzisierungsräumen äquivalent ist zu Wahrheit in allen Präzisierungsräumen, bei denen das Maß einen strikt positiven Wertebereich hat. Sowohl in der hybriden Lukasiewicz-Logik als auch in der hybriden Gödel-Logik ist Wahrheit in allen Präzisierungsräumen mit einem strikt positiven Maß äquivalent zu Wahrheit in allen Präzisierungsräumen mit einem uniformen Maß.<br />

Vagueness is ubiquitous in our language and thinking. Reasoning with vague information therefore is a highly relevant task for information systems and artificial intelligence. In this thesis, we study non-classical logics for reasoning under vagueness.<br />Supervaluationism is one of several theories of vagueness that are discussed in analytic philosophy. The idea of supervaluationism is to consider all ways of making vague statements completely precise. In every such precisification, formulas are interpreted like in classical logic. Vague situations are modeled by precisification spaces which are sets of different precisifications. The supervaluationist's notion of truth is supertruth, which is defined as truth in all precisifications.<br />Due to the similarity to Kripke semantics, the supervaluational approach results in a modal logic.<br />Fuzzy logics have a background in control engineering and are a well-studied class of many-valued logics. The fuzzy-logic approach has two main features: the unit interval is taken as the set of truth degrees and formulas are evaluated according to truth functions. We consider those fuzzy logics in which the truth function for conjunction is a continuous t-norm and the truth functions of the other connectives are also fully determined by the choice of the t-norm. Fuzzy logics are often extended by the [Delta]-operator that indicates whether a formula has the truth value 1. The most important fuzzy logics for this thesis are Lukasiewicz logic and Gödel logic. We show that in some natural sense Gödel logic is the only "logic of comparison".<br />We combine supervaluationism and fuzzy logic to a hybrid logic by equipping every precisification space with a measure on its set of precisifications. We determine the truth value of each propositional variable by measuring the set of precisifications of the space in which it is true. The truth functions of the connectives are determined by a t-norm, like in fuzzy logic. In this way we obtain a hybrid logic for every continuous t-norm. We also add a modal operator S to the logic that indicates whether a formula is supertrue in the precisification space.<br />We obtain a normal form for the hybrid logic in which nestings of the S-operator are not necessary. Furthermore, we show that Gödel fuzzy logic with the [Delta]-operator can be embedded into Lukasiewicz hybrid logic and that Lukasiewicz hybrid logic can be embedded into fuzzy Lukasiewicz logic with the [Delta]-operator. We also consider certain natural restricted versions of precisification spaces and show the following: Lukasiewicz hybrid logic is the only hybrid logic in which truth in all precisification spaces is equivalent to truth in all precisification spaces with a measure of strictly positive range. In both Lukasiewicz hybrid logic and Gödel hybrid logic, truth in all precisification spaces with a measure of strictly positive range is equivalent to truth in all precisification spaces with a uniform measure.