Distributio -constrained optimal stopping problems in discrete time

Abstract

Die vorliegende Arbeit hat eine verallgemeinerte Version eines "optimal stopping"-Problems in diskreter Zeit als Hauptfokus. Unterschiedliche Herangehensweisen an dieses Problem werden vorgezeigt und besprochen, wie das Verwenden von einem Raum von "couplings", welche zusätzlich lineare Nebenbedingungen erfüllen, oder jenes von sogenannten "adapted random probability measures". Weiters wird eine Verbindung dieser Sichtweisen aufgezeigt und die Existenz einer optimalen Lösung bewiesen. In den abschließenden Kapiteln wird ein Monotonie-Prinzip anhand eines Beispiels vorgeführt. Für eine spezielle Klasse an Kostenfunktionen wird Optimalität (und Eindeutigkeit) einer "greedy"-Strategy gezeigt. Der Beweis basiert stark auf jener Idee, die hinter einem Monotonie-Prinzip in diskreter Zeit steckt, welche wiederum von einem Monotonie-Prinzip in stetiger Zeit abgeleitet wurde. Zuletzt wird Optimalität auch unter Verwendung dieses Monotonie-Prinzips gezeigt.

This thesis is focused on a more general type of optimal stopping problems in discrete time. Varying approaches of viewing this problem are discussed and introduced, e.g.\ using a space of couplings under linear constraints or so-called adapted random probability measures. A connection between these views is made and existence of an optimal solution is shown. Further, a modified version of Monge-Kantorovich duality is established. The final sections show a monotonicity principle with examples. For a special class of cost functions, optimality (and uniqueness) of a "greedy strategy" is established. In particular, the proof resembles the main idea behind a monotonicity principle for discrete time, which in turn is based on a monotonicity principle for continuous time. Finally, optimality of the "greedy strategy" is shown using monotonicity.