Freie Randwerte bei zweidimensionalen Ruinproblemen

Abstract

Diese Diplomarbeit beschäftigt sich mit der Ermittelung einer optimalen Steuerpolitik angewandt auf zwei Unternehmen. Dabei wird ein Unternehmen als risikobereiter angenommen als das andere. Um die gemeinsame Überlebenswahrscheinlichkeit zu maximieren, profitiert das risikobereitere Unternehmen solange von einer Förderung des Staates bis es einen Schwellenwert erreicht. Das Ziel ist es eine vom Vermögen abhängige Funktion des Schwellenwertes zu bestimmen. Das zweidimensionale Ruinproblem kann mit Hilfe der Kontrolltheorie in Form von zwei partiellen Differentialgleichungen formuliert werden, wobei die Randwerte der noch unbekannten Schwellenwertfunktion entsprechen. Analytisch wird eine implizite Darstellung des Schwellenwertes durch eine Fredholm Gleichung erster Art hergeleitet. Um eine explizite Darstellung zu erlangen, wird in dieser Arbeit das numerische Verfahren der Legendre Wavelet Collocation Methode angepasst, so dass es auf diese Fredholm Gleichung erster Art angewendet werden kann. Es resultiert eine explizite Schwellenfunktion, die in MATLAB approximativ, auf Basis dieses numerischen Verfahrens berechnet wird.

This diploma thesis deals with the determination of an optimal tax policy applied to two companies, whereby one company is assumed to be more risk-friendly compared to the other. In order to maximize the probability that both companies survive forever, the more risk-friendly company benefits from state support until its wealth reaches a threshold. The goal is to evaluate the optimal theshold function of the wealth. The two dimensional ruin problem can be rewritten into two partial differential equations using control theory, whereby the boundary value corresponds to the unknown threshold function. Analytically, an implicit representation of the threshold function is derived by a Fredholm equation of first kind. With the purpurse of achieving an explicit representation, the numerical Legendre Wavelet Collocation method has been adapted in this work, so it can be applied to this specific Fredholm equation of first kind. The result is an explicit theshold function, calculated in MATLAB on the basis of this method.