Deterministic numerical solution of the Boltzmann transport equation

Abstract

Die kleinen Abmessungen moderner Halbleiterbauelemente machen eine direkte Messung von Ladungstransportdetails unmöglich. Eine präzise Simulation des Ladungsträgertransports im Inneren des Bauelements ist daher für das Verstehen der physikalischen Vorgänge und für weitere Effizienzsteigerungen unerlässlich. Für diesen Zweck ist das Drift-Diffusionsmodell lange das Zugpferd der Halbleitersimulation gewesen, allerdings verliert es durch die voranschreitende Miniaturisierung und der einhergehended Reduktion der Streuung von Ladungsträgern am Kristallgitter oder anderen Ladungsträgern seine Gültigkeit.<br />Der genannte Genauigkeitsverlust kann durch eine Lösung der Boltzmannschen Transportgleichung anstelle der von ihr abgeleiteten vereinfachten Transportmodelle kompensiert werden, solange Quanteneffekte hinreichend klein sind. Die Hochdimensionalität der Boltzmannschen Transportgleichung macht eine direkte numerische Lösung jedoch sehr diffizil. Aus diesem Grund hat sich die stochastische Monte Carlo Methode etabliert, die die Berücksichtigung vieler Details erlaubt, aber zu langen Rechenzeiten führt und andere Nachteile mit sich bringt, welche in dieser Form bei makroskopischen Transportmodellen nicht auftreten. Der im Rahmen dieser Arbeit behandelte deterministische numerische Lösungsansatz mittels einer Entwicklung in harmonische Kugelflächenfunktionen leidet nicht unter den Nachteilen der Monte Carlo Methode, gleichzeitig kann aber eine praktisch gleiche Genauigkeit erreicht werden.<br />Im Laufe dieser Arbeit werden weitere Verbesserungen der Methode der Entwicklung in harmonische Kugelflächenfunktionen vorgeschlagen. Zuerst wird eine Erweiterung auf Streuungen zwischen Ladungsträgern präsentiert, die auch für höhere Entwicklungsgrade arbeitet. Danach wird die Struktur der resultierenden Gleichungen untersucht und eine Methode zur effizienten Speicherung der Systemmatrix vorgestellt. Im Anschluss werden Erweiterungen auf unstrukturierte Gitter unter der Verwendung beliebiger Entwicklungsgrade vorgeschlagen. Um den Rechenaufwand klein zu halten, werden variable Entwicklungsgrade und adaptive Kontrollstrategien eingeführt. Dem Trend hin zu parallelen Rechenarchitekturen wird durch die Vorstellung eines Schemas für das parallele Vorkonditionieren der Systemmatrix Rechnung getragen. Die Kombination der vorgestellten Techniken ermöglicht die erstmalige dreidimensionale Simulation eines Feldeffekttransistors mit Hilfe der Methode der Entwicklung in harmonische Kugelflächenfunktionen. Summa summarum erlauben die vorgeschlagenen Verbesserungen eine Reduktion des Speicherbedarfs um eine Größenordnung und der Ausführzeiten um zwei Größenordnungen.<br />

A direct measurement of the details of charge transport in semiconductor devices is impossible due to the small characteristic lengths of semiconductor devices. Therefore, accurate simulations are essential for understanding the physical effects inside the device and for further improvements of device performance. While the drift-diffusion model has long been the workhorse of semiconductor device simulation, the ongoing miniaturization implies that carrier transport through the device is no longer dominated by scattering with the crystal lattice or other carriers, which invalidates the model.<br />The loss in accuracy can be compensated by a numerical solution of the Boltzmann transport equation instead of simplified transport models derived from its moments, provided that quantum mechanical effects are sufficiently small. However, the high dimensionality of the Boltzmann transport equation makes direct numerical solutions very difficult.<br />Consequently, the most commonly used method is the stochastic Monte Carlo method, which allows for the inclusion of many details. However, the method leads to excessive execution times and other problems, which are absent in macroscopic transport models. The deterministic numerical solution approach based on spherical harmonics expansions considered throughout this thesis does not suffer from the disadvantages of the Monte Carlo method, yet it provides virtually the same accuracy.<br />Further improvements of the spherical harmonics expansion methods are proposed in this work. First, a method for the inclusion of carrier-carrier scattering at arbitrary expansion orders is proposed.<br />Then, the structure of the resulting equations is analyzed and a scheme for the efficient storage of the resulting system matrix is proposed.<br />The method is then extended to unstructured grids at arbitrary expansion order. Variable-order expansions and adaptive schemes are proposed in order to keep computational costs under control. Moreover, the trend towards parallel computing architectures is addressed by the development of a parallel preconditioner scheme. With the combination of the presented schemes it is shown for the first time that the simulation of truly three-dimensional field-effect transistors using the spherical harmonics expansion method is feasible. Overall, the improvements suggested in this thesis lead to a reduction of memory requirements by one order of magnitude and execution times by two orders of magnitude.