Title: Asymptotische Trefferwahrscheinlichkeiten für kleine Kreise
Other Titles: Asymptotic hitting probabilities for small circles
Language: Deutsch
Authors: Hahnenkamp, David 
Qualification level: Diploma
Keywords: Trefferwahrscheinlichkeiten; Kontrolltheorie
hitting probabilities; control theory
Advisor: Grandits, Peter 
Issue Date: 2020
Number of Pages: 47
Qualification level: Diploma
Abstract: 
Diese Arbeit behandelt die Brownsche Bewegung mit Drift. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft diese einen Kreis um den Ursprung? In höheren Dimensionen verallgemeinert sich das Problem in das Treffen einer d-dimensionalen Sphäre, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt. Der Schlüssel hierzu ist die Laplace-Gegenbauer-Transformation. Diese legt die gemeinsame Verteilung des Trefferzeitpunktes und des Trefferortes eindeutig fest. Mit diesen Ergebnissen können wir eine Approximation der Trefferwahrscheinlichkeit für den verschwindenden Kreisradius herleiten.Um die Laplace-Gegenbauer-Transformation berechnen zu können, benötigen wir zunächst Grundkenntnisse über die sogenannten Besselfunktionen, spezielle Funktionen mit häufiger Anwendung in der Physik. Auf deren Basis können wir die modifizierten Besselfunktionen beschreiben und deren zentrale Eigenschaften anführen. Des Weiteren lernen wir die Gegenbauerpolynome kennen, eine Familie von orthogonalen Polynomen. Diese gehören zu den Jacobipolynomen und stehen in Zusammenhang mit den Tschebyschowpolynomen.Die Erkenntnisse aus den ersten beiden Kapiteln wollen wir anschließend mit Hilfe von Simulationen verdeutlichen. Hier wird erklärt, wie Pfade einer eindimensionalen Brownschen Bewegung implementiert werden können und wie dies auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden kann. Wir simulieren die Trefferwahrscheinlichkeit in zwei Dimensionen für unterschiedliche Werte von Radius, Drift und Startvektor und vergleichen die Ergebnisse mit den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten. Außerdem konstruieren wir einen Kontroller für die Y-Komponente, welcher der x-Achse eine Art Anziehungskraft verleiht. Zum Schluss des Kapitels gehen wir kurz auf die Konvergenzordnung des so simulierten Prozess ein. Im letzten Kapitel geht es um das Cramér-Lundberg-Modell. Es werden grundlegende Erkenntnisse erarbeitet und wichtige Resultate wie Maßwechsel und die Lundberg-Gleichung vorgestellt. Außerdem approximieren wir die Wahrscheinlichkeit des Ruins über eine Diffusion.

This diploma thesis discusses Brownian Motion. What is the probability that it hits a circle surrounding the origin? Introducing higher dimensions, the problem shifts into hitting a sphere centered in the origin. The key in answering this question is the Laplace-Gegenbauer-Transformation. This transformation uniquely determines the joint distribution of the hitting time and the hitting position. With those results we can calculate an approximation of the hitting time for vanishing radius of the sphere. Before calculating the Laplace-Gegenbauer-Transformation, we need to acquire some basic knowledge of the Besselfunctions, which are special functions with frequent use in physics. Based on these we are able to describe the so called Besselfunctions of purely imaginary argument and state their central properties. Moreover, we will become familiar with the Gegenbauer-polynomials, a family of orthogonal polynomials. These polynomials belong to the Jacobi-polynomials and are connected with the Chebyshev-polynomials. Subsequently, we will illustrate the insights of preceding sections by simulations. In this chapter we explain how to implement paths of a one-dimensional Brownian Motion and how to generalize this into higher dimensions. Then we will simulate the hitting probability of the previous section in two dimensions for different values of radius, drift and starting vector and compare these results with the true ones. Furthermore, we construct a controller for the y-component, which provides a kind of gravitation for the x-axis. At the end of the chapter we consider the order of convergence of the arising process. The last chapter deals with the Cramér-Lundberg-Model. We will develop basic knowledge about the model and will state central results such as change of measure and the Lundberg-equation. Furthermore, we approximate the probability of ruin by a diffusion.
URI: https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-138012
http://hdl.handle.net/20.500.12708/1072
Library ID: AC15647677
Organisation: E105 - Institut für Stochastik und Wirtschaftsmathematik 
Publication Type: Thesis
Hochschulschrift
Appears in Collections:Thesis

Files in this item:

Show full item record

Page view(s)

1
checked on Mar 28, 2021

Download(s)

1
checked on Mar 28, 2021

Google ScholarTM

Check


Items in reposiTUm are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.