Analyse adaptiver Netzverfeinerungsstrategien für eine hypersinguläre Integralgleichung in 2D

Abstract

F¨ur die wenigsten partiellen Differentialgleichungen l¨asst sich eine L¨osung in analytisch geschlossener Form darstellen und quantitativ auswerten. Daher bedient man sich numerischer Verfahren, die eine approximative L¨osung auf einem endlichdimensionalen Teilraum berechnen und gleichzeitig gew¨ahrleisten, dass der Fehler in Bezug auf die exakte L¨osung einer gewissen Genauigkeit gen¨ugt.<br />Zu einer der grundlegenden Diskretisierungstechniken zur L¨osung elliptischer partieller Differentialgleichungen geh¨ort neben der Finiten Element Methode die Randelementmethode. Dabei wird die partielle Differentialgleichung unter der Kenntnis der Fundamentall¨osung in eine Integralgleichung ¨ubergef¨uhrt, auf die im n¨achsten Schritt das Galerkin-Verfahren angewandt wird.<br />In dieser Arbeit werden gewisse a posteriori Fehlerabsch¨atzungen f¨ur eine hypersingul¨are Integralgleichung entwickelt. Wir betrachten dabei jene, die der Laplace-Gleichung mit gemischten Randdaten entspringt. Unsere Analysis basiert auf Lokalisierungstechniken f¨ur die Energienorm der Integralgleichung und ¨ubertr¨agt sich somit auf andere hypersingul¨are Integralgleichungen, z.B. auf die Lam´e-Gleichung oder die Stokes-Gleichung.