Optimality of adaptive 2D boundary element method

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit Konvergenz und Optimalität einer adaptiven Randelementmethode. Der adaptive Algorithmus wird von einem gewichteten, residualen Fehlerschätzer gesteuert und approximiert die Lösung der zugrunde liegenden schwach singulären Integralgleichung in 2D. Zusätzlich zur Zuverlässigkeit zeigen wir, unter gewissen Regularitätsannahmen, die Effizienz des Fehlerschätzers auf lokal verfeinerten Gittern. Dies ermöglicht es, die zugehörigen Approximationsklasse nur durch den Galerkinfehler zu charakterisieren.<br />Insbesondere beweisen wir dadurch, dass der gewichtete, residuale Fehlerschätzer eine optimale Wahl zum Steuern des adaptiven Algorithmus ist. Soweit möglich, werden die Resultate der Arbeit in einem abstrakten Rahmen formuliert und bewiesen, welcher eine sehr viel größere Problemklasse abdeckt.<br />

We prove convergence and quasi-optimality of some lowest-order adaptive boundary element method for a weakly-singular integral equation in 2D. The adaptive mesh-refinement is driven by the weighted-residual error estimator. By proving that this estimator is not only reliable, but under some regularity assumptions also efficient on locally refined meshes, we characterize the approximation class in terms of the Galerkin error only.<br />In particular, this yields that no adaptive strategy can do better, and the weighted-residual error estimator is thus an optimal choice to steer the adaptive mesh-refinement. As far as possible, the analysis is given in an abstract Hilbert space setting which applies to a much bigger problem class and studies the relations of the analytical requirements for convergence and quasi-optimality.