Analysis of radial complex scaling methods for scalar resonance problems in open systems

Abstract

Wir untersuchen die Approximationen von skalaren Resonanzproblemen durch radiale komplexe Skalierungsmethoden. Die Methoden basieren auf einer komplexen Skalierung der radialen Variable, so dass die Resonanzfunktionen exponentiell gedämpft werden und sich dadurch die Resonanzprobleme zu Eigenwertproblemen transformieren. Als Approximation wird das unbeschränkte Gebiet durch ein Endliches ersetzt und eine homogene Dirichlet Randbedingung am künstlichen Rand gefordert. Wegen des starken Abklingens der Eigenfunktionen wird erwartet, dass der begangene Fehler gering ist. Das entstandene Problem kann weiters mit gebräuchlichen numerischen Verfahren, wie zum Beispiel Finite Elemente Methoden, diskretisiert werden. Die Analysis des Letzteren kann auf ähnliche Weise wie für klassische auf endlichen Gebieten gestellte Eigenwertprobleme durchgeführt werden, während die Analyis der Gebietsstutzung typischer Weise spezielle Techniken erfordert. Wir stellen ein neues Konzept basierend auf einigen Kernideen vor, um die Approximationen zu untersuchen. Zuallererst fassen wir die Gebietsstutzung als konforme Galerkinapproximation auf. Weiters greifen wir auf Literatur über die Analysis von Approximationen holomorpher Eigenwertprobleme zurück. Mittels Multiplikationsoperatoren konstruieren wir sogenannte T-Operatoren, um die untersuchten Probleme in die Form kompakter Störungen koerziver Operatoren zu bringen. Wir stellen ein Rahmenwerk vor, um die Approximationen von schwach T-koerziven Operaten zu untersuchen. Wir finden eine Bedingung an die Galerkinräume, sogenannte T-Kompatibilität, um die spektrale Konvergenz zu garantieren (inklusive Konvergenzraten von Eigenwerten und Eigenräumen, etc.). Wir wenden diese Theorie an, um Konvergenzresultate für Approximationen (basierend auf radialer komplexer Skalierung) von skalaren Resonanzproblemen zu erhalten.

We consider the approximation of scalar resonance problems by means of radial complex scaling methods. The methods are based on a complex scaling of the radial variable so that resonance functions become exponentially damped and the resonance problems transform to linear eigenvalue problems. As an approximation the unbounded domain is truncated to a finite domain and a homogeneous Dirichlet boundary condition is imposed on the artificial boundary. Due to the rapid decay of eigenfunctions the error generated is expected to be small. Consequently the resulting eigenvalue problem can be discretized by standard numerical schemes such as finite element methods. The analysis of the latter can be performed similarly to that of classical eigenvalue problems posed on bounded domains, while the analysis of the domain truncation is typically more laborious. We propose a new framework to analyze the domain truncation based on several ideas. At first we interpret the domain truncation as a conform Galerkin approximation. Secondly we apply theories of holomorphic operator function eigenvalue approximation. We further construct so called T-operators by means of multiplication operators to transform the investigated problems into the setup of compact perturbations of coercive operators. At last we establish a condition on the Galerkin spaces, which we call T-compatibility, sufficient to ensure spectral convergence (including convergence rates of eigenvalues and eigenfunctions, etc.). We apply this framework to obtain convergence results for approximations (based on radial complex scaling) of scalar resonance problems.