A posteriori Fehlerschätzer für Zweipunkt-Randwertprobleme mittels Defektkorrektur

Abstract

In der vorliegenden Arbeit wird ein Fehlerschätzer für Zweipunkt-Randwertprobleme vorgestellt. Zur Lösung der zugrundeliegenden Differentialgleichung 2-ter Ordnung wird das Kollokationsverfahren verwendet und dessen Approximationsqualität erläutert. Mithilfe des Defekts der Kollokationslösung bezüglich dem Randwertproblem und der Anwendung eines geeigneten Integraloperators konstruiert man aus der Kollokationslösung ein Differenzengleichungssystem für den Fehler. In dieser Gleichung treten jedoch immer noch die erste Ableitung sowie ein numerisch auszuwertendes Integral auf. Durch Diskretisierung der ersten Ableitung mittels zentraler Differenzenquotienten und Ersetzen des Integraloperators durch eine geeignet gewählte Punktauswertung des Integranden geht daraus ein diskretes Gleichungssystem für den Fehlerschätzer hervor. Bei der Analyse der Abweichung Schätzers stellt sich heraus, dass die Konvergenzordnung des Schätzers mindestens um 1 höher ist, als die des zugrundeliegenden Kollokationsverfahrens. Anhand von numerischen Beispielen wird aufgezeigt, dass die erhöhte Konvergenzordnung sogar um 2 besser ist als im Basisverfahren. Ebenso wird die Qualität des Fehlerschätzers bei anderen Basisverfahren aufgezeigt.<br />