Stability of a closed-loop control system; applied to a gantry crane with heavy chains

Abstract

Die Diplomarbeit untersucht die Stabilität eines linearen Regelungssystem, das auf einen Brückenkran mit schweren Ketten angewandt wird. Zunächst wird der Regler umformuliert als Anfangswerproblem in einem Hilbertraum. Mit Hilfe der Theorie stark stetiger Halbgruppen von Operatoren wird zunächst gezeigt, dass unter gewissen Bedingungen die Lösungen der vektorwertigen Differentialgleichung durch eine Kontraktionshalbgruppe angegeben werden können, deren Norm also monoton nichtwachsend ist. In weiterer Folge wird gezeigt, dass die Lösungen jeweils gegen Null konvergieren, die Kontraktionshalbgruppe also asymptotisch stabil ist. Abschließend wird sogar exponentielle Stabilität der Halbgruppe nachgewiesen, d.h. die Lösungen konvergieren jeweils exponentiell gegen Null.

In this thesis the stability of a linear control system, applied to a gantry crane with heavy chains, is analyzed. First, the controller is re-written in form of an initial value problem in an appropriate Hilbert-space. By applying the theory of strongly continuous semigroups of operators, it is shown that under certain conditions the solutions of the differential equation are generated by a semigroup of contractions, implying that the norm of the solutions is non-increasing. After that, asymptotic stability of the contraction semigroup is proven, i.e. the norm even tends to zero for every solution of the initial value problem.<br />Furthermore, it is shown that the convergence rate is exponentially, proving exponential stability of the controller.