Title: Direkte und inverse Spektraltheorie von Sturm-Liouville Differentialoperatoren
Language: Deutsch
Authors: Eckhardt, Jonathan 
Qualification level: Diploma
Keywords: Sturm-Liouville Operatoren; Spektraltheorie; Inverse Spektraltheorie; Weyl-Titchmarsh $m$-Funktion
Sturm-Liouville operators; spectral theory; inverse spectral theory; Weyl-Titchmarsh $m$-function
Advisor: Woracek, Harald
Issue Date: 2009
Number of Pages: 122
Qualification level: Diploma
Abstract: 
Diese Arbeit beschäftigt sich mit inverser Spektraltheorie von selbstadjungierten Sturm-Liouville Differentialoperatoren, induziert durch den gewöhnlichen Differentialausdruck zweiter Ordnung $-\frac{d 2}{dx 2}+q(x)$, im Hilbertraum $L 2(a,b)$. Dabei ist $(a,b)$ ein beschränktes oder unbeschränktes Intervall und $q$ eine lokal integrierbare, reellwertige Funktion auf $(a,b)$. Nach einigen allgemeinen Vorbereitungen über selbstadjungierte Sturm-Liouville Differentialoperatoren, entwickeln wir zunächst eine Spektraltheorie solcher Operatoren. Eine zentrale Rolle spielen dabei die Weyl-Titchmarsh $m$-Funktion und das zugehörige Spektralmaß. Inverse Spektraltheorie beschäftigt sich mit Problemen der Bestimmung und Rekonstruktion von Sturm-Liouville Operatoren anhand bestimmter Spektralgrößen, wie beispielsweise dem Spektrum, der Weyl-Titchmarsh $m$-Funktion oder des Spektralmaßes. Ein Hauptsatz dieser Arbeit ist ein lokaler Eindeutigkeitssatz für das inverse Problem von der Weyl-Titchmarsh $m$-Funktion. Er besagt, dass zwei selbstadjungierte Sturm-Liouville Operatoren lokal um einen Randpunkt übereinstimmen, falls sich die zugehörigen $m$-Funktionen asymptotisch ähnlich verhalten. Wir verwenden diesen Satz um sogenannte halbinverse Eindeutigkeitssätze für reguläre Sturm-Liouville Operatoren zu beweisen. Ein weiterer großer Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Lösbarkeit des inversen Problems vom Spektralmaß im regulären Fall.
Insbesondere geben wir eine Charakterisierung aller möglichen Spektralmaße (und damit aller möglichen Spektren) von regulären, selbstadjungierten Sturm-Liouville Operatoren mit quadratisch integrierbarer Funktion $q$.

This diploma thesis deals with inverse spectral theory of self-adjoint Sturm-Liouville differential operators, induced by the second-order ordinary differential expression $-\frac{d 2}{dx 2} + q(x)$ in the Hilbert space $L 2(a,b)$. Here $(a,b)$ is a bounded or unbounded interval and $q$ is a locally integrable real-valued function on $(a,b)$. After some general preliminaries about self-adjoint Sturm-Liouville differential operators, we develop a spectral theory of such operators. A central role is played there by the Weyl-Titchmarsh $m$-function and the corresponding spectral measure. Inverse spectral theory deals with problems of identification and reconstruction of Sturm-Liouville operators from certain spectral characteristics, such as the spectrum, the Weyl-Titchmarsh $m$-function or the spectral measure.
A main theorem of this thesis is a local uniqueness theorem for the inverse problem from the Weyl-Titchmarsh $m$-function. It states that two self-adjoint Sturm-Liouville operators are locally equal near a boundary point, if the corresponding $m$-functions behave asymptotically similar. We use this to prove so-called half-inverse uniqueness theorems for regular Sturm-Liouville operators. Another major part of this thesis deals with the solvability of the inverse problem from the spectral measure in the regular case. In particular, we give a characterization of all possible spectral measures (and thus all possible spectra) of regular, self-adjoint Sturm-Liouville operators with square-integrable function $q$.
URI: https://resolver.obvsg.at/urn:nbn:at:at-ubtuw:1-32407
http://hdl.handle.net/20.500.12708/12586
Library ID: AC07806039
Organisation: E101 - Institut für Analysis und Scientific Computing 
Publication Type: Thesis
Hochschulschrift
Appears in Collections:Thesis

Files in this item:

Show full item record

Page view(s)

9
checked on Feb 18, 2021

Download(s)

58
checked on Feb 18, 2021

Google ScholarTM

Check


Items in reposiTUm are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.