Simplicial Sets; Homotopy; Ex Functor; Kan complexes
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Abstract:
Ausgehend von einer Arbeit von Friedman werden zunächst die Grundlagen der Theorie der simplizialen Mengen dargestellt. Dabei liegt der Schwerpunkt einerseits darauf, die geometrisch-topologischen Hintergründe freizulegen und die simplizialen Mengen als Verallgemeinerung der abstrakten Simplizialkomplexe zu verstehen, andererseits darauf, durch konsistente Notation und detaillierte Beweisführung eine solide Basis zur Orientierung in der teilweise verwirrenden bestehenden Literatur zu schaffen.<br />Im zweiten Teil der Arbeit werden Notwendigkeit und Konsequenzen der Einführung der Kan-Komplexe dargestellt sowie der von Kan vorgeschlagene Ex-Funktor beleuchtet. Unter Zuhilfenahme dieses Funktors kann - alternativ zum singulären Funktor S - eine beliebige simpliziale Menge auf rein kombinatorischem Weg zu einem Kan-Komplex erweitert werden.<br />Abschließend wird die Geometrie des Ex-Funktors an einem Beispiel angedeutet.<br />
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At the beginning, the fundamental facts of the theory of simplicial sets are shown. Thereby the geometrical background of the theory is emphasized. Simplicial sets are viewed as a generalization of abstract simplicial complexes. All proofs are complete and in detail.<br />There has been much effort to keep the notation consistent and precise, so the reader gets a solid base to deal with the sometimes puzzling existing literature.<br />The second part of the text exhibits why Kan complexes have been introduced and which consequences grow out of this concept. Since many simplicial sets are no Kan complexes, Kan proposed the Ex functor. Using this functor, any simplicial set can be extended to a Kan complex by purely combinatorical means. A concluding section hints at the geometry of the Ex functor within an example.
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Additional information:
Abweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des Verfassers
