Numerical method for weak gravitational formulation

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Anwendung der Finite Elemente Methoden im Zusammenhang mit der Numerischen Berechnung von Gravitationswellen.Die eingehenden Probleme von Simulationen in der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR) ergeben sich aus der Tatsache, dass die Einstein-Feldgleichungen (EFE) stark nichtlinear sind. Ein möglicher Ansatz zur Lösung des EFE-Problems besteht daher darin, eine stabile lineare Methode und einen nichtlinearen Löser, der auf dieser Methode basiert zu entwickeln und zu zeigen, dass die kontinuierlichen Lösungen von den diskreten approximiert können. Eine Möglichkeit, solche linearen Methoden zu erstellen, besteht darin, nach Ähnlichkeiten mit den bereits bekannten Methoden zu suchen. Aus diesem Grund beschäftigt sich diese Arbeit mit dem Vergleich zwischen der Finite-Elemente-Methode für die linearisierten Maxwell-Gleichungen (LME) und Gravitationswellen (GW). Nach einer kurzen Einleitung der Theorien, werden die grundlegenden Objekte für die Variationsumgebung vorgestellt: die Sobolev-Räume und das Finite Element, welche die benötigter Differentialoperatoren auf natürliche Weise erweitern. Besonderes Augenmerk wird auf den Neuesten der vier FEs, den Regge-Elementraum, gelegt: Hier wird die formale Ableitungstheorie fast vollständig bis zur Definition einer anwendbaren Basis für reale Implementierungszwecke abgedeckt. Weiters, wird der Fokus auf die schwache Definition der Operatoren verlagert, nämlich die Definition von Triangulationen. Diese führen zu einem symplektischen System, welches implementiert und gelöst werden muss. Die Dualität sieht gebrochen aus, da die LMEs Permittivität als möglichen Passage-Operator zwischen den Räumen H(curl) und H(div) verwenden. Unter Verwendung einiger Ergebnisse wird die Dualität zwischen den Räumen H(curlcurl) und H(divdiv) vom S-Operator wieder aufgebaut. Das Galerkin-Verfahren lie- fert ein symplektisches System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. Abschließend wird im letzten Teil dieser Arbeit über mögliche Ergbnisse der vorgestellten Simulationen diskutiert. Die Implementierung und Durchführung aller numerischen Berechnungen wurde mit Hilfe der finiten Elementen Bibliothek Netgen/NGsolve durchgeführt.

This work is aimed at addressing the issues arising from the application of the Finite Ele- ment Method in the context of Gravitational Wave (GW) simulation.The inherent problems of simulations in general relativity (GR) stem from the fact that Einstein Field Equations (EFE) are strongly nonlinear, therefore one possible approach to solve the EFE is to develop a stable linear method, a nonlinear solver based upon that method and to show that the continuous solutions are well approximated by the discrete ones. One possible way to create such linear methods is to look for similarities with the already known methods. For this reason, this paper addresses the comparison between the finite element method for the linearized Maxwell equations (LME) and gravitational waves. After a short presentation of the theories, the basic objects for the variational setting will be introduced: the Sobolev spaces and the Finite Elements, which extend the differential operators involved in the equations in a natural way. Particular attention is paied to the newest among the four discrete spaces, the Regge element; here, the formal derivation is covered almost completely up to the definition of an purposes, it follows an implementable definition ford Dofs and Shape Functions. Further, the focus is shifted on the weak definition of the operators, namely the definition on triangulations, which leads to a symplectic system. The duality looks broken since the LMEs use permittivity as a passage operator between the spaces H(curl) and H(div); later the duality with the spaces H(curlcurl) and H(divdiv) is re-established by the operator S. The Galerkin procedure leads to a first order symplectic system of ordinary differential equations .Consequently, the last part of the theory, covers the creation of possible symplectic methods, in particular, the attempt to solve the problem on a numeric solver will be expounded. The final part of this paper examines the outcomes of a basic simulation. After presenting some basic facts on how to implement a simulation in Netgen/NGsolve via the package NGs-py, plots about the conservation of energy are discussed.