Advection-dominated models for chemotaxis

Abstract

Chemotaxis, die gerichtete Bewegung von Organismen, die durch chemische Substanzen ausgelöst und gelenkt wird, spielt für viele biologische Prozesse eine entscheidende Rolle. Zahlreiche Mikroorganismen benützen Chemotaxis, um Nahrung aufzuspüren oder toxische Substanzen zu vermeiden. Während bei der chemotaktischen Orientierung von Bakterien die ungerichtete, zufällige Komponente ihrer Bewegung eine wichtige Rolle spielt, unterdrücken andere Organismen die Zufallsbewegungen größtenteils, was zu einer sehr zielgerichteten Fortbewegung führt. Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit mathematischen Modellen, die diese zielgerichtete Bewegung beschreiben.<br />Im ersten Teil wird ein Transportmodell hergeleitet, das auf der Annahme beruht, dass Zellen Kontentrationsunterschiede entlang ihres Weges messen und vergleichen. Der makroskopische Limes dieses Modells ist in erster Ordnung eine reine Konvektionsgleichung für die Zelldichte, als Korrektur höherer Ordnung wird ein Diffusionsterm hergeleitet. Als Anwendungsbeispiel wird das Verhalten des Schleimpilzes Dictyostelium discoideum untersucht. Die numerische Lösung der Gleichungen zeigt, dass das Modell einen erfolgreichen Erklärungsansatz für das so genannte chemotaktische Paradoxon darstellt. Im zweiten Teil der Arbeit wird ein makroskopisches Advektions-Diffusions Modell für Chemotaxis, das die endliche Größe der Zellen berücksichtigt behandelt. Es wird gezeigt, dass Lösungen des vollen Problems gegen Lösungen der reinen Advektionsgleichung konvergieren wenn die Diffusionskonstante gegen Null geht. Für kleine, positive Diffusivität zeigen Lösungen ein interessantes Langzeitverhalten: durch den nichtlinearen Advektionsterm bilden Lösungen plateau-artige Strukturen, die lange, stabile Perioden aufweisen, die immer wieder von schnellen Ubergängen unterbrochen werden, während denen einzelne Plateaus miteinander verschmelzen. Mit Methoden der formalen Asymptotik wird ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen hergeleitet, die die Bewegung der Plateaus beschreiben.<br />

Chemotaxis, the directed response of an individual to chemical gradients, plays a fundamental role for many biological processes, ranging from wound healing to the immune response of our body. Many microorganisms use chemotaxis to find nutrients or to avoid toxic substances. Whereas random movement plays an important role in the behaviour of bacteria, other cells suppress undirected motion as soon as a chemical gradient is detected. In my thesis, I focus on the mathematical modelling of the latter case. In the first part, kinetic transport models for chemotaxis are studied, incorporating the ability of cells to assess temporal changes of the chemoattractant concentration as well as its spatial variations. A macroscopic limit is carried out rigorously, leading to a drift equation for the cell density. A diffusion term is then derived as an higher order correction. As an application it is shown by numerical experiments that the new model can resolve the so-called chemotactic wave paradox. In the second part of the thesis, the Keller-Segel model for chemotaxis is studied, which is a drift-diffusion equation for the cell density coupled with an elliptic equation describing the evolution of the chemoattractant. The case of small cell diffusivity and, in particular, the hyperbolic limit of the system as the diffusion coefficient goes to zero are investigated.<br />Considering a model where the drift term vanishes at high cell densities leads to a nonlinear equation which allows the formation of shocks in the limit. Moreover, the long term behaviour of solutions is studied, and a system of ordinary differential equations describing the slow motion of internal layers is derived.