Controlled diffusion models with applications to dividend payment

Abstract

Wir fassen die wichtigsten Definitionen und Resultate aus der stochastischen Kontrolltheorie zusammen und wenden diese an, um die Dividendenauszahlungen eines Versicherungsunternehmens zu optimieren.<br />Wir gehen dabei davon aus, dass das Versicherungsunternehmen sein Vermögen mit einer einfachen Diffusion modelliert. Als Optimalitätskriterium werden die erwarteten diskontierten Dividenden bis zum Zeitpunkt des Ruins genommen. Wir unterscheiden dabei, ob ein endlicher Zeithorizont festgesetzt wird oder nicht.<br />In beiden Fällen stellt sich heraus, dass die optimale Strategie, nach der Dividenden gezahlt werden sollen, durch Barriere-Strategien gegeben sind. Im Falle eines unendlichen Horizonts ist diese Barriere konstant bezüglich der Zeit und explizit gegeben. Im Falle eines endlichen Horizonts ist die Barriere eine Funktion der Zeit, die nur als Lösung einer Integralgleichung gegeben ist. Diese Integralgleichung wird dann numerisch gelöst.<br />

We deal with the most important definitions and theorems in stochastic control theory and apply these results to determine optimal dividend payment strategies for an insurance company. We will assume that this company models its endowment by simple diffusion process. As a criterion for optimality we will use the expected value of discounted dividends until time of ruin. We will distinguish two cases whether the according time horizon is finite or not.<br />In both models the optimal strategy is given by a barrier strategy. In the former model the optimal barrier is constant and has an explicit solution, while in the latter model this barrier depends on time and has no explicit solution. It is characterized by integral-equation, which we will solve numerically.