Stochastic unknown input estimator with optimal parametrization

Abstract

Schätzung von unbekannten Eingängen werden hauptsächlich im Bereich der Signalrekonstruktion oder Fehlerdiagnose eingesetzt, wenn Messungen von wichtigen Signalen technisch nicht möglich oder zu komplex für die Anwendung sind.<br />Der hier gezeigte Ansatz hat zum Ziel, unbekannte Eingänge von dynamischen Systemen basierend auf Beobachtungen des Ausgangssignals in Echtzeit zu schätzen. Üblicherweise werden Prozesssmodelle und Messungen von zufälligen Ereignissen beeinträchtigt, die dann als Prozess- bzw.<br />Messrauschen bezeichnet werden. Meistens werden die unbekannten Eingänge und das Rauschen durch das System gekoppelt, was dazu führt, dass Zustands- und Eingangsschätzproblem voneinander abhängig sind. Deshalb wird ein gemeinsamer Schätzer für das Zustands- und Eingangsschätzproblem nach dem Beobacherprinzip verwendet. Die unbekannten Eingänge werden durch stochastische Prozesse mit einer nicht stationären weißen Rauschfolge als Eingang modelliert. Durch Erweiterung des Systems um einen stochastischen Prozess wird der unbekannte Eingang zu einer Größe im Zustandsraum, und die weiße Rauschfolge wirkt auf das System. Folglich ergibt sich das Problem für die Beobachterauslegung nach Kalman in Standardform. Des Weiteren werden Kalman-Smoother und Filter mit voreilendem Horizont getestet. Dadurch kann die Leistungsfähigkeit gegenüber dem Filteransatz verbessert und die Zeitverzögerung des geschätzten Eingangs aufgrund des stochastischen Prozesses verringert werden. Dabei werden zusätzlich zeitverzögerte Eingänge als lineare Nebenbedingungen berücksichtigt.<br />Die Leistungsfähigkeit des Filters und somit des stochastischen Eingangsschätzers hängt von der Filterauslegung ab. Die Kenntnis der Rauschkovarianz des erweiterten stochastischen dynamischen Systems ist essenziell für eine optimale Schätzung. Da die Kovarianz von schwach stationären Prozessen zumeist unbekannt ist, wird die Rauschkovarianz unter Verwendung des Korrelationsansatzes der Innovation geschätzt und sowohl für lineare als auch nichtlineare Systeme angewendet. Die Symmetrie und positive Definitheit von Kovarianzmatrizen wird mittels nichtlinearer Nebenbedingungen in der Schätzung berücksichtigt. In der vorliegenden Arbeit werden verschiedene Optimierungsmethoden, wie zum Beispiel die Constrained Newton Method, Barrier Function, Unscented Parameter Estimation und Semidefinite Programming angewendet und verglichen.<br />Im Allgemeinen werden unbekannte Eingänge durch einen stochastischen Prozeß mit nicht stationärem weißen Rauschen als Eingang modelliert. Die Veränderung der Varianz wird durch die Verwendung eines Multimodellansatzes (Interacting Multiple Models) erfasst. Diese Vorgangsweise führt zu guten Schätzungen bei vergleichsweise geringem Rechenaufwand.<br />Abschließend werden alle Methoden am Beispiel eines linearen Halbfahrzeugmodells und eines realitätsnahen nichtlinearen Schienenfahrzeugmodells simuliert. Es konnte gezeigt werden, dass mit dem präsentierten Ansatz die vorgegebenen Fahrbahnunebenheiten und die Gleislagestörungen geschätzt werden können.<br />

Unknown input estimation is mainly applied in the field of signal reconstruction or fault detection, where measurements of important signals are either technically impossible or too complex for the application.<br />The approach presented here is focused on the real-time estimation of unknown inputs of a dynamic system based on the observation of the system outputs. Usually, process models and measurements are impaired by random effects, which are considered as process and measurement noise.<br />In most cases the unknown inputs and the noise are coupled by the system, hence the state and input estimation problems are co-dependent.<br />Therefore, a joint estimation approach regarding state and input estimation based on observer techniques is used. The unknown inputs are modeled by a stochastic process with associated non-stationary white noise sequence. Extending the system by the stochastic process, the unknown inputs are transformed into the state space and the system is affected by white noise processes. Consequently, the problem is given in standard form, which can be used for Kalman filter design. Furthermore, Kalman smoother and receding horizon filters were evaluated. Thus, estimation performance was improved and the time-delay of the input estimation due to stochastic processes was minimized. Additionally, recurrent inputs could be treated by linear constraints.<br />The performance of the filter and consequently the stochastic input estimator depend on the filter design. The knowledge of the second-order noise statistics of the extended stochastic dynamic system is required for optimal estimation. As covariances of wide-sense stationary processes are in most cases not known, the second-order noise statistics are estimated from data using the correlation approach of the innovation sequence. The method is presented for both linear and nonlinear systems.<br />In the estimation, the symmetry and positive definiteness of covariance matrices is considered by nonlinear constraints. In this work, several methods for optimization, such as constrained Newton method, Barrier function, unscented parameter estimation and semidefinite programming, are presented and compared.<br />Unknown inputs are generally modeled by a stochastic process with a non-stationary white noise process as an input. The variations of the second-order statistics are captured by an interacting multiple model approach, which gives a good trade-off between computational effort and performance.<br />All variants were simulated on a linear half-car model and on a realistic nonlinear railway vehicle model. It could be shown, that the presented approach was capable of estimating the road profiles and track irregularities that have been applied.