Bjerknes forces: a layer potential approach

Abstract

Die Bewegung von ein und zwei interagierenden Blasen in einem schwachen akustischen Feld sind in der Vergangenheit genau untersucht worden. Die Resultate haben sich auf Systeme mit wenig oder keiner Interaktion beschränkt, was die Analyse deutlich vereinfacht hat. Unter Beachtung von Kopplungstermen niedriger Ordnung ist gezeigt worden, dass eine Vorzeichenumkehr der Kraft auftritt. Dadurch sind Mehr-Blasensysteme mit stabilen Abständen möglich, welche nicht durch ungekoppelte Modelle erklärt werden können. Diese Arbeit enthält theoretische Ableitungen von Bewegungen von zwei Blasen mit Interaktion in einem einfallenden akustischen Druckfeld. Ein neuer Ansatz unter der Annahme von Flüssigkeiten ohne Viskosität wird eingeführt. Die Gesamtkraft wird auf eine neue Weise approximiert und die bestimmenden Gleichungen werden linearisiert, welche die Verwendung von potentialtheoretischen Techniken erlaubt. Weiters werden die asymptotischen Kräfte für ein und zwei Blasensysteme berechnet und Resultate, konsistent mit der Literatur, werden abgeleitet. Bestehende Ansätze mit Interaktion niedriger Ordnung erzeugen zunehmend Fehler für kleinere Blasenabstände, da die Kopplungsterme höherer Ordnung an Signifikanz gewinnen. Im Gegensatz dazu betrachtet unser Ansatz alle Interaktionsterme höherer Ordnung im linearisierten Model und sollte Blasen mit starker Interaktion besser beschreiben. Teilergebnisse werden durch numerische Berechnungen verifiziert und Simulationen von Zwei-Blasensysteme werden analysiert. Mehrere Vorzeichenumkehreffekte sind sichtbar, welche das komplexe Verhalten der Kräfte verdeutlichen. Weitere Anwendung und Analyse dieses Ansatzes könnte das Verständnis der Bjerknes Kräfte nahe der Resonanzfrequenzen und für Blasen mit kleinem Trennungsabstand erweitern.

The movements of one and two interacting bubbles inside a weak acoustic incident pressure field have been extensively studied in the past. The results have focused on bubble systems with limited or no interaction, which greatly simplified the problem. It has been shown that considering low order couplings between the bubbles produce sign reversal effects of the forces. This can produce multi bubble systems with stable separation distances, which cannot be explained by a model with no coupling. This thesis covers theoretical derivations of the movement of two fully interacting bubbles inside an acoustic incident pressure field. A novel approach under the assumption of an inviscous fluid is introduced. The total forces are approximated in a new way and the governing equations are linearised, allowing the use of layer potential techniques. We further calculate the asymptotic forces on one and two bubbles and show that the results are consistent with past literature. Common approaches with only low order interactions produce growing errors for smaller bubble separations due to higher order coupling terms getting more significant. In contrast, our approach considers all coupling terms in the linearised model and should more accurately approximate bubbles with strong interactions. Partial results are verified by numerical computations and simulations of two bubble systems are made. Multiple sign reversal effects are observed which show the complex behaviour of the forces. Further applications and analysis of this approach could be a fruitful path of understanding the Bjerknes forces near resonance frequencies and for bubbles in close proximity with each other.