Mixed finite element methods for nonlinear continuum mechanics and shells

Abstract

In dieser Arbeit werden gemischte Formulierungen für nichtlineare Probleme in der Kontinuumsmechanik und Schalentheorie vorgestellt und besprochen. Während Standardmethoden in der Kontinuumsmechanik, wo das Verschiebungsfeld als Unbekannte angesetzt wird, oftmals den Nachteil von nicht robusten Formulierungen mit sich bringt, können Kombinationen von Funktionenräumen mit schwächerer Regularität sogenannte ``Locking'' Phänomene verhindern. Gemischte Zweifeld-Methoden, die zusätzlich noch den Spannungstensor als Unbekannte verwenden, werden in der linearisierten Elastizitätstheorie bereits häufiger verwendetet. Diese können jedoch nicht sofort auf nichtlineare Materialien verallgemeinert werden, da sie im Allgemeinen nicht invertierbar sind. Zusätzlich setzen geometrische Nichtlinearitäten die Multiplikation von Ableitungen voraus, welche bei Räumen mit geringer Regularität nicht wohldefiniert sind. Dadurch motiviert werden sogenannte Dreifeld-Formulierungen vorgestellt, wo ein ``Lifting'' von distributionellen Ableitungen auf eine quadratisch integrierbare Funktion verwendet wird. Dieser Ansatz wird auch für (fast) inkompressible Materialien speziell behandelt. Für (nichtlineare) Koiter-Schalen ist ein zweimal schwach differenzierbares Verschiebungsfeld notwendig, da ein Differenzialoperator vierter Ordnung involviert ist. Die Konstruktion von solchen global differenzierbaren finiten Elementen hat sich als äußerst schwierig erwiesen. Stattdessen führen wir ein zusätzliches Spannungsfeld ein um Verschiebungen in den Sobolevraum erster Ordnung und damit einfacheren Elementen zu ermöglichen. Wir zeigen, dass sich diese Methode im Falle kleiner Verzerrungen bei Platten zu der Hellan-Herrmann-Johnson Methode vereinfacht. Weiters werden Erweiterungen zu nichtlinearen Naghdi Schalen präsentiert. Bei dünnen Schalen tritt bei gekrümmten Elementen sogenanntes Membranlocking auf. Wir präsentieren eine Interpolationsmethode beruhend auf den etwas weniger bekannten Regge finiten Elementen um ein solches Locking auf Dreiecksgittern zu verhindern. Dieser Ansatz kann mithilfe von finiten Elementen für den topologischen Dualraum als gemischtes Variationsproblem angesetzt werden. Wir diskutieren Zusammenhänge zwischen der vorgestellten Methode und bereits existierenden Elementen.

In this work mixed formulations for nonlinear problems in continuum mechanics and shells are presented and discussed. While standard methods in continuum mechanics, where the displacement field is used as unknown, often suffer from non-robust formulations, a combination of function spaces with lower regularity assumptions may circumvent so-called ``locking'' phenomena. Mixed two-field methods, where the stress tensor is considered as additional unknown, are already used quite often in linear elasticity. These approaches, however, can mostly not directly be generalized to nonlinear materials, as they are in general not invertable. Additionally, geometric nonlinearities require multiplication of derivatives, which are not well-defined for spaces with low regularities. With this motivation so-called three-field formulations are proposed, where a lifting of distributional derivatives to square-integrable functions is accomplished. This approach is further extended to (nearly) incompressible materials. For (nonlinear) Koiter shells a twice weakly differentiable displacement field is required, as a fourth-order differential operator is involved. The construction of such globally differentiable finite elements has turned out to be extremely challenging. Instead, we introduce an additional stress field to enable displacements to be in a first order Sobolev space and thus more simple finite elements are available. We show that this method simplifies to the Hellan-Herrmann-Johnson method in the small strain regime for plates. Further, extensions to nonlinear Naghdi shells are presented. For thin shell structures so-called membrane locking occurs for curved elements. We present an interpolation procedure based on the less common Regge finite elements to prevent this locking behavior for triangulations. This approach can be accomplished with finite elements for the topological dual space as mixed variational problem. We discuss connections between the presented methods and existing elements.