Fractional perimeters and symmetrization

Abstract

In der vorliegenden Dissertation werden Konvergenz und Symmetrisierung von fraktionellen Perimetern in verschiedenen Räumen untersucht. Zu allererst wird eine Klassifizierung aller Gleichheitsfälle in der anisotropen fraktionellen isoperimetrischen Ungleichung angegeben unter der Annahme, dass die zugrundeliegende Einheitskugel symmetrisch zu jeder Koordinatenhyperebene und strikt konvex ist. Mit deren Hilfe wird gezeigt, dass die anisotrope Symmetrisierung bezüglich dieser Gleichheitsfälle wohldefiniert ist und eine anisotrope fraktionelle Pólya-Szegö-Ungleichung wird für diese Symmetrisierung hergeleitet. Als Nächstes werden fraktionelle Seminormen und Perimeter auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten eingeführt und deren Konvergenz zur Sobolev-Seminorm beziehungsweise zum Perimeter für s gegen 1 wird gezeigt. Für fraktionelle Perimeter auf der Sphäre wird ein alternativer Beweis für dieses Resultat mittels sphärischer Integralgeometrie angegeben. In diesem Speziallfall wird die Konvergenz von geeignet renormalisierten fraktionellen Perimetern gegen ein Volumsfunktional für s gegen minus unendlich gezeigt. Schlussendlich werden isoperimetrische Ungleichungen für sphärische fraktionelle Perimeter mit einer vollständigen Beschreibung aller Gleichheitsfälle hergeleitet. Einige Resultate in dieser Dissertation sind in Zusammenarbeit mit Olaf Mordhorst entstanden.

In this thesis, convergence and symmetrization of fractional perimeters in different settings are studied. First, a classification of minimizers of the anisotropic fractional isoperimetric inequality is given whenever the unit ball of the space is unconditional and strictly convex. With its help it is shown that anisotropic symmetrization with respect to these minimizers is well-defined and an anisotropic fractional Pólya-Szegö principle for this symmetrization is established. Next, fractional seminorms and perimeters are introduced on Riemannian manifolds and their convergence to the Sobolev seminorm and the perimeter, respectively, is shown as s tends to 1. For fractional perimeters on the sphere an alternative proof for this result using spherical integral geometry is presented. In this special case, the convergence of suitably normalized fractional perimeters towards a volume functional as s tends to minus infinity is shown. Finally, isoperimetric-type inequalities for spherical fractional perimeters with a complete classification of equality cases are derived. Some results of this thesis are joint work together with Olaf Mordhorst.