[2021W] Berechnung von Ruinwahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Fourier-Cosinus Methode

Abstract

Ruinwahrscheinlichkeiten lassen sich in der Theorie als unendliche Summen von Faltungen darstellen. Die Berechnung der Faltungen von Zufallsvariablen gestaltet sich im Allgemeinen jedoch als sehr schwierig und ist mit hoher Komplexität verbunden. Daraus folgt, dass es in den meisten Fällen nicht möglich ist, Ruinwahrscheinlichkeiten exakt zu berechnen. Daher wird oft auf Approximationsverfahren zurückgegriffen, um an Näherungen für die Wahrscheinlichkeit des theoretischen Ruins zu gelangen. Das Ziel dieser Arbeit ist es die Fourier-Cosinus Methode für Ruinwahrscheinlichkeiten, die von Chau, Yam und Yang entwickelt wurde, vorzustellen und zu testen. Diese Methode hat den Vorteil, dass die Ruinwahrscheinlichkeiten mit geringem Aufwand angenähert werden können und für diese Approximation eine Fehlerschranke angegeben werden kann. Diese kann unter bestimmten Voraussetzungen sogar verbessert werden. Im ersten Kapitel dieser Diplomarbeit werden die wichtigsten mathematischen Grundlagen zur Ruintheorie zusammengefasst. Im zweiten Kapitel werden Lévy-Prozesse definiert und einige Eigenschaften dieser Prozesse näher beleuchtet. Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit der Fourier-Transformation, die für die Fourier-Cosinus Methode, die dann im vierten Kapitel beschrieben wird, benötigt wird. Die Fehlerabschätzung der Approximation und die Verbesserung dieser Fehlerschranke erfolgt im fünften und sechsten Kapitel. Im Kapitel 7 wird die Fourier-Cosinus Methode erweitert, um auch im Falle einer statistischen Verteilungsfunktion zu einer Approximation zu gelangen. Kapitel 8 stellt eine Methode vor, um für Monotonie in der Approximationfunktion abhängig vom Anfangskapital zu sorgen. Abschließend wird im Kapitel 9 die Fourier-Cosinus Methode anhand eines Cramér-Lundberg Prozesses mit exponentialverteilten Einzelschäden, eines Risikoprozesses mit einem poissonverteilten Verlustprozess und eines Cramér-Lundberg Prozesses mit Gamma-verteilten Einzelschäden getestet.

The probability of ruin can be represented in theory as infinite sums of convolutions. However, calculating the convolutions of random variables is generally very difficult and is associated with high complexity. This means that in most cases it is not possible to calculate the probability of ruin exactly. Therefore, approximation methods are often used to obtain approximations for the probability of theoretical ruin.The goal of this work is to present and test the Fourier-Cosine method for probability of ruin, developed by Chau, Yam and Yang. This method has the advantage that the probability of ruin can be approximated with less effort and that a margin of error can be given for this approximation. Under certain conditions, this margin of error can even be improved.In the first chapter of this diploma thesis, the most important mathematical basics of ruin theory are summarized. In the second chapter, Lévy processes are defined and some properties of these processes are examined in more detail. The third chapter deals with the Fourier transform, which is needed for the Fourier-Cosine method described in the fourth chapter. The error estimate of the approximation and the improvement of this margin of error are carried out in the fifth and sixth chapters. In chapter 7, the Fourier-Cosine method is extended to also approximate the case of a statistical distribution function. Chapter 8 introduces a method to ensure monotonicity in the approximation function depending on the initial capital. Finally, in chapter 9, the Fourier-Cosine method is tested using a Cramér-Lundberg process with exponentially distributed individual losses, a risk process with a Poisson-distributed loss process and a Cramér-Lundberg process with Gamma distributed individual losses.