Financial market modeling based on the Kalman filter in the setting of a two-factor Hull-White model

Abstract

In der vorliegenden Diplomarbeit wird die Zinsstrukturkurve mittels eines Momentanzinsmodells modelliert. Als das zugrundeliegende Modell wurde das Two-Factor Hull-White Model gewählt, welches äquivalent zum Gaussian Two-Factor Model formuliert werden kann. Damit das Modell mit der initialen Zinsstrukturkurve übereinstimmt, wird das Nelson-Siegel-Svensson Verfahren angewendet. Aus täglich beobachteten Zinsdaten werden unter Anwendung des Kalman Filters die Modellparameter geschätzt. Hierfür muss zuerst das state-space model, welches aus der measurement und transition Gleichung besteht, für das zugrundeliegende Modell formuliert werden. Danach wird der iterative Prozess des Filters durchgeführt und die Log-Likelihood Funktion des Modellparametersets wird zurückgegeben. Dieser Prozess wird so oft wiederholt bis vorgegebene Grenzen des Nelder-Mead Optimierungsverfahren erreicht werden. Mit den geschätzten Parametern werden die zukünftigen Pfade der Nullkuponanleihe simuliert. Aus dem Durchschnitt der Pfade zu jedem Zeitpunkt werden dann mittels der Anleihenformel die Nullkuponanleihenpreise berechnet.Um das Modell zu validieren wird zunächst überprüft, ob der Martingaltest erfüllt ist. Danach wird getestet ob das Modell konsistent ist, also ob die aus den simulierten Pfaden zukünftiger Momentanzinse erhaltene Modellparameter durch erneute Schätzung der Modellparameter, wieder gefunden werden. Schlussendlich werden die beobachteten Zinsdaten in zwei Datensätze aufgeteilt. Das erste besteht aus den Beobachtungen der ersten vier Jahre, das zweite aus der Beobachtung des letzten Jahres. Dann wird mit dem ersten Datensatz und der gewonnenen Modellparameter das nächste Jahr an Momentanzinsen geschätzt, und überprüft ob die simulierten mit den tatsächlich beobachteten übereinstimmen.

This diploma thesis deals with modeling the interest rate term-structure using a short-rate model. The underlying model is the Two-Factor Hull-White Model, which is equivalent to the Two-Factor Gaussian model. In order to fit the model with the initial term-structure the Nelson-Siegel-Svensson method is applied. From daily observed short-rates we further estimate with the use of the Kalman Filter the set of model parameters. For this purpose the state-space model, which consists of the measurement and transition equation has to be formulated for the underlying model. Then the iterative process of the Filter can be undertaken and the return is the log-likelihood function of the model parameter set. This process reruns until certain thresholds of the Nelder-Mead optimizer are reached. With the estimated parameters the future paths of the zero-coupon bond are simulated. The mean of this paths of each time instant is used to calculate the future zero-coupon bond prices through the bond-price formula.To validate the model it is checked whether the Martingale-test is fulfilled. Then it is tested on consistency, so if the estimated parameters of future short-rates can be re-estimated. Finally the observed short-rate is split into two sets of data. The first contains the observed short-rates of the first four years, the second the last year of observation. Then the first set is used to model the short-rates of the upcoming year with the obtained parameters and the simulated short-rates can be compared with the actual observed ones.