Resonanzprobleme in Wellenleitern mit Hilfe von optimierten infiniten Elementen

Abstract

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Frage, wie man Finite Elemente Methoden auf unbeschränkte Gebiete erweitern kann. Dazu wird hauptsächlich die Helmholtz Gleichung verwendet, mit deren Hilfe die theoretischen Aspekte präsentiert und vertieft werden. Ganz allgemein betrachtet, muss man im Falle eines unbeschränkten Gebietes eine zusätzliche Bedingung an Lösungen stellen, welche im Wesentlichen das Verhalten im Unendlichen beschreibt. Dies geschieht in der vorliegenden Arbeit mit Hilfe des sogenannten Dirichlet-to-Neumann Operators (kurz DtN), welcher nicht nur in der Theorie eindeutige Lösungen garantiert, sondern ebenfalls die Betrachtung eines beschränkten Gebietes nach Setzen eines transparenten Randes ermöglicht. Aus Sicht der Numerik ist somit eine Diskretisierung jenes Operators notwendig. Dazu präsentieren wir die Learned Infinite Elemente Methode, die daraus besteht, die Finite Elemente Matrix über externe Freiheitsgrade so zu erweitern, dass deren Schur Komplement den exakten Operator bestmöglich“ approximiert.”Dabei werden die zusätzlichen Freiheitsgrade über ein gewisses Optimierungsproblem bestimmt. Essentiell für die Verwendung der oben genannten Methode ist die Voraussetzung, dass der exakte DtN Operator als unendliche Reihe mittels einer bestimmten Basis dargestellt werden kann. In den numerischen Experimenten wurde durch Lösen der Helmholtz Gleichung auf Wellenleitern mit Streukörpern nachgewiesen, dass die Learned Infinite Elemente äußerst effizient einsetzbar ist und insbesondere schon mit vergleichsweise wenigen zusätzlichen Freiheitsgraden hohe Konvergenzraten aufweist. In Kombination mit der Integralmethode wurde überdies die bislang nur für Streuprobleme verwendete Diskretisierung des DtN Operators ebenfalls zur Berechnung von Eigenwerten auf unbeschränkten Gebieten erweitert. In diversen Experimenten konnte demnach die Konvergenz anhand der Berechnung von Eigenwerten des negativen Laplace Operators auf unbeschränkten Wellenleitern bestätigt werden.

This paper covers the question, how Finite Element Methods can be used when trying to solve partial diffrential equations on unbounded domains. Throughout this thesis, the Helmholtz equation will be used to present techniques and to illustrate theoretical aspects. In general, if one is interested in problems on unbounded domains, one needs to demand an additional condition to solutions, that vaguely speaking describes the behavior nearby ”infinity“. This can be done with the so-called Dirichlet-to-Neumann (DtN) operator, which not only guarantees uniqueness of solutions theoretically, but also enables re-formulating of the problem to a bounded domain with the help of a transparent boundary. From thenumerical point of view, one therefore needs to additionally discretize this operator to gather approximate solutions. One of the main topics will therefore be the presentation of the Learned Infinite Elements Method, which consists of extending the Finite Element matrix via so called external degrees of freedoms such that the respective Schur complement approximates the DtN operator in the best possible“ way. These additional entries will be obtained through a certain optimization problem. An essential assumption to apply the above method is that the exact DtN operator can be described as a series with the help of a certain basis. In various numerical experiments it was shown by seeking solution of the Helmholtz equation in waveguides, that the Learned Infinite Elements Method resulted in high convergence rates even for relatively few exterior degrees of freedom. In combination with the integral method we could in addition use the previously described discretization of the DtN operator to calculate eigenvalues on unbounded domains. In several numerical experiments we could even verify convergence by calculating eigenvalues of the negative Laplace operator in unbounded waveguides.