Finite element analysis of the heterogeneous Helmholtz equation and least squares methods

Abstract

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit drei großen Themenblöcken. Zu Beginn der Arbeit betrachten wir eine kleinste Quadrate Methode zur numerischen Diskretisierung der homogenen Helmholtz Gleichung. Es wird eine Konvergenztheorie dieser Methode bewiesen,welche explizit in der Wellenzahl ist. Weiters betrachten wir eine kleinste Quadrate Methode zur Diskretisierung einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche zuvor in ein System von Gleichungen erster Ordnung umformuliert wird. Für diese Methode wird unter minimalen Regularitätsannahmen an die Daten Optimalität bewiesen. Schließlich betrachten wir eine Klasse von zeitharmonischen Wellenphänomenen in stückweise glatten Medien. Für diese Klasse von Problemen wird eine Regularitätstheorie bewiesen, welche explizit in der Wellenzahl ist. Diese Regularitätstheorie wiederum erlaubt eine vollständige Konvergenzanalyse von Galerkin Verfahren für diese Problemklasse.

The present thesis is concerned with three main topics. The first one being a least squares finite element approach for numerical discretizations of the homogeneous Helmholtz equation. We perform a wavenumber-explicit convergence theory for this method. Secondly, we prove optimality for a first order system least squares finite element method applied to a second order partial differential equation focusing on minimal regularity assumptions on the data. Finally, we consider a class of time-harmonic wave propagation problems in piecewise smooth media. For these problems, a wavenumber-explicit regularity theory is performed. This in turn allows for a complete and wavenumber-explicit convergenceanalysis of a Galerkin method applied to our model class.