Einige mathematische Modelle in der Populationsdynamik

Abstract

Die Populationsdynamik untersucht die Veränderungen der Größe und Zusammensetzung von Populationen über die Zeit. Dabei sind gewöhnliche Differentialgleichungen sowohl zur Modellierung der Veränderung einer Spezies als auch von mehreren Spezies gut geeignet. Die vorliegende Arbeit gibt einen Überblick der bekanntesten mathematischen Populationsmodelle. Es wird mit den einfachsten eindimensionalen Modellen begonnen und zunächst in zweidimensionale Systeme übergegangen. Die grundlegenden Arten der biologischen Wechselwirkungen werden analysiert: Räuber-Beute, Konkurrenz und Mutualismus. Jedes Modell wird durch eine mathematische Analyse ergänzt, wodurch das Verhalten beziehungsweise das Langzeitverhalten der Lösungen erklärt sowie in Grafiken visualisiert und biologische Interpretationen gegeben werden. Abschließend geht die Arbeit auf Modelle mit n verschiedenen Populationen ein und gibt einen Ausblick auf allgemeinere Modelle.

Population dynamics studies changes in the size and composition of populations over time. Ordinary differential equations are well suited for modelling both the change of one species and of several species. The present work gives an overview of the most popular mathematical population models. It starts with the simplest one-dimensional models and initially goes into two-dimensional systems. The basic types of biological interactions are analyzed: predator-prey, competition and mutualism. Each model is complemented by a mathematical analysis, which explains the behavior respectively the long-term behavior of the solutions as well as visualizing them in graphics and giving biological interpretations. Finally, the paper discusses models with n different populations and gives an outlook on more general models.