Stochastic PDEs with cross-diffusion effects

Abstract

Wir beweisen die Existenz von globalen Martingalllösungen für eine allgemeine Klasse von Kreuzdiffusionssystemen unter dem Einfluss multiplikativen Rauschens. Die betrachteten Gleichungen beschreiben Mehrkomponentensysteme, welche aus physikalischen oder biologischen Anwendungen stammen. In den meisten Fällen sind die Diffusionsmatrizen dieser Probleme weder symmetrisch noch positiv semi-definit, woran klassische Ansätze scheitern. Viele dieser Systeme besitzen jedoch eine formale Gradientenfluss- oder Entropiestruktur, welche wir verwenden, um die Existenz globaler Lösungen zu beweisen.

We prove the existence of global-in-time martingale solutions to a general class of crossdiffusion systems with multiplicative noise. The equations describe multicomponent systems from physics or biology with volume-filling effects and possess a formal gradient-flow or entropy structure. The diffusion matrix in the studied class of systems is generally neither symmetric nor positive semidefinite, which excludes standard methods. Instead, the existence proof is based on the entropy structure of the model.