Analysis of nonlocal cross-diffusion and nonlinear drift-diffusion systems using entropy methods

Abstract

Systems including cross-diffusion, i.e. the process where the flux of one component or speciesis induced by the gradient of another component or species, have received increased attentionin the PDE community over the last few decades due to the presence of this phenomenon inmany real life situations such as chemical reactions or biological processes or systems.Another important class are diffusive systems containing drift, where the movement of particlesis not just induced by the change of their concentration, which is called diffusion, but also bythe presence of a force that interacts with the particles. These systems are of high interestsince they model, among other things, semiconductors – a small yet essential component ofmost nowadays electrical circuits.Entropy methods, where the natural presence of a Lyapunov functional is used to studythe behaviour of partial differential equations (PDEs), proved to be a powerful tool in theanalysis of cross-diffusion and drift-diffusion systems. These methods are especially usefulwhen standard techniques, for example maximum or comparison principles, (elliptic) regularitytheory, monotonicity arguments, etc. cannot be applied. In this thesis we demonstrate theusefulness of these methods in various settings.

Kreuzdiffusion ist ein Phänomen in Systemen, bei dem die Diffusion einer Spezies, also der Ausgleich des Konzentrationsunterschiedes innerhalb selbiger, durch den Gradienten anderer im System vorhandener Spezies induziert wird. Aufgrund ihres häufigen Auftretens zum Beispiel in biologischen Systemen oder Prozessen sowie chemischen Reaktionen wurden Kreuzdiffusionssysteme in den letzten Jahrzehnten intensiv untersucht. Diffusive Systeme mit Drift, in denen die Bewegung von Partikeln nicht nur durch die Änderung von deren Konzentration induziert wird, sondern auch durch eine Kraft, welche mit den Partikeln interagiert, sind wiederum von großem Interesse, da diese mitunter Halbleiter modellieren– ein kleiner, jedoch umso essentiellerer Bauteil in den meisten elektrischen Schaltkreisen heutzutage. Entropiemethoden nutzen die natürliche Präsenz eines Lyapunovfunktionales zur Studie partieller Differentialgleichungen aus und haben sich als mächtiges Werkzeug in der Analyse von Kreuzdiffusions- und Driftdiffusionssystemen erwiesen. Besonders wenn klassische Methoden wie zum Beispiel Maximumprinzipien, (elliptische) Regularitätstheorie, Monotonieargumente, etc. nicht anwendbar sind, erweisen sie sich als praktisches Instrument. In der vorliegenden Arbeit illustrieren wir dies anhand unterschiedlichster Anwendungen.