Sparse grid approximation of stochastic PDEs : adaptivity and approximation of the stochastic Landau–Lifshitz–Gilbert equation

Abstract

This dissertation tackles the approximation of partial differential equations (PDEs) with random data, focusing on random coefficient PDEs and stochastic PDEs (SPDEs). As a first result, we present and analyse an adaptive sparse grid-finite element approximation of the random diffusion Poisson equation. The algorithm is based on the reliable a-posteriori error estimator [Guignard, Nobile; SIAM J. Numer. Anal. (2018)].Firstly, we examine a parametric semidiscrete setting. We consider two possible parametric enrichment strategies and prove plain convergence and convergence with rate (with respect to the number of refinement steps) for both. Secondly, we present the fully discrete algorithm, which additionally incorporates finite element adaptivity.We consider the use of the same or different meshes for distinct collocation nodes in parameter space. We prove rate-optimality of the finite element refinement with tools from [Carstensen, Feischl, Page, Praetorius; Comput. Math. Appl. (2014)]. Finally, combining the convergence results leads to the plain convergence of the fully discrete algorithm. As a second result, we present a novel numerical scheme for nonlinear SPDEs driven by Gaussian noise. A surrogate of the random field solution is efficiently computed following these steps: 1. Reduce the problem to approximating a parametric coefficient PDE through the Doss-Sussmann transform and the Lévy-Ciesielski expansion of the Wiener process; 2. Prove four regularity properties, which ensure holomorphic regularity and sparsity of the resulting parameter-to-solution map; 3. Use the sparsity information to design an a-priori sparse grid interpolation scheme, which can overcome the curse of dimensionality.We apply this method to the stochastic Landau--Lifshitz--Gilbert (SLLG) equation, a model for micrometer-scale magnetic bodies whose magnetization is perturbed by heat fluctuations. This SPDE is mathematically and computationally challenging due to its nonlinearity and the presence of Gaussian noise. For SLLG, we prove the four regularity properties in two functional settings: Either Hölder or Lebesgue integrable sample paths in time. The second setting leads to algebraic, dimensions independent convergence of the sparse grid interpolation. Finally, we apply the multilevel sparse grid-finite element scheme [Teckentrup, Jantsch, Webster, Gunzburger; SIAM/ASA J. Uncertain. Quantif. (2015)] and demonstrate its superiority over the single-level method. The results are validated through numerical experiments, some of which are performed using SGMethods, a Python implementation of sparse grid interpolation developed in conjunction with this dissertation.

Diese Dissertation befasst sich mit der Approximation von partiellen Differentialgleichungen (PDEs) mit Zufallsdaten, wobei der Schwerpunkt auf PDEs mit Zufallskoeffizienten und stochastischen PDEs (SPDEs) liegt. Als erstes Ergebnis präsentieren und analysieren wir eine adaptive Sparse Grid-Finite Element approximation des random diffusion Poisson Problems. Der Algorithmus basiert auf dem zuverlässigen a-posteriori Fehlerschätzer [Guignard, Nobile; SIAM J. Numer. Anal. (2018)]. Zunächst untersuchen wir eine parametrische semidiskrete Einstellung. Wir betrachten zwei mögliche parametrische Anreicherungsstrategien und beweisen für beide einfache Konvergenz und Konvergenz mit Rate (in Bezug auf die Anzahl der Verfeinerungsschritte). Zweitens stellen wir den vollständig diskreten Algorithmus vor, der zusätzlich die adaptive Verfeinerung der Finiten Elemente einbezieht. Wir betrachten die Verwendung gleicher oder unterschiedlicher Gitter für verschiedene Kollokationsknoten im Parameterraum. Wir beweisen die Ratenoptimalität der Finite-Elemente-Verfeinerung mit Methoden aus [Carstensen, Feischl, Page, Praetorius; Comput. Math. Appl. (2014)]. Schließlich führt die Kombination der Konvergenzergebnisse zur einfachen Konvergenz des vollständig diskreten Algorithmus. Als zweites Ergebnis präsentieren wir ein neuartiges numerisches Schema für nichtlineare SPDEs, die durch Gaußsches Rauschen gesteuert werden. Ein Surrogat der Zufallsfeldlösung wird effizient in den folgenden Schritten berechnet: 1. Reduzieren Sie das Problem auf die Approximation einer parametrischen Koeffizienten-PDE durch die Doss-Sussmann-Transformation und die Lévy-Ciesielski-Erweiterung des Wiener-Prozesses; 2. Beweisen Sie vier Regularitätseigenschaften, die holomorphe Regularität und Sparsamkeit der resultierenden Parameter-zu-Lösungs-Abbildung gewährleisten; 3. Verwenden Sie die Informationen über die Sparsamkeit, um eine a-priori Sparse Grid Interpolation zu entwerfen, die den Fluch der Dimensionalität überwinden kann. Wir wenden die Methode auf die stochastische Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung (SLLG) an, ein Modell für magnetische Körper im Mikrometerbereich, deren Magnetisierung durch Wärmeschwankungen gestört wird. Die SPDE ist aufgrund ihrer Nichtlinearität und des Gaußschen Rauschens eine mathematische und rechnerische Herausforderung. Für SLLG beweisen wir die vier Regularitätseigenschaften in zwei funktionalen Einstellungen: Entweder Hölder- oder Lebesgue-integrierbare Stichprobenpfade in der Zeit. Die zweite Einstellung führt zu algebraischer, dimensionsunabhängiger Konvergenz der Sparse Grid Interpolation. Schließlich wenden wir das multilevel Sparse Grid-Finite Element Methode [Teckentrup, Jantsch, Webster, Gunzburger; SIAM/ASA J. Uncertain. Quantif. (2015)] und zeigen seine Überlegenheit gegenüber der Single-Level-Methode. Die Ergebnisse werden durch numerische Experimente validiert, von denen einige mit SGMethods durchgeführt werden, einer Python-Implementierung der Sparse-Grid-Interpolation, die in Verbindung mit dieser Dissertation entwickelt wurde.