Evolutionary and gradient-based optimization methods in tensor-LEED

Abstract

LEED I(V ) ist eine quantitative Erweiterung der Niederenergie-Elektronenbeugung (LEED),bei der die Intensität I der gebeugten Elektronen in Abhängigkeit von der kinetischen Energie des einfallenden Elektronenstrahls (V ) gemessen wird. Die resultierenden I(V )-Kurven werden anschließend mit berechneten I(V )-Kurven mithilfe eines Zuverlässigkeitsfaktors (R-Faktor) verglichen. Die I(V )-Kurven einer gegebenen Kristallstruktur können durch eine sogenannte voll-dynamische Berechnung (d. h. unter Berücksichtigung von Mehrfachstreueffekten) ermittelt werden. Auf Basis dieser voll-dynamischen Berechnung kann der Einfluss kleiner Änderungen an der Eingabestruktur mit dem störungstheoretischen Tensor-LEED-Ansatzberechnet werden. Wir haben eine neue Implementierung von Tensor-LEED in Python und Google Jax entwickelt, die auf den in der Referenzberechnung von TensErLEED und ViPErLEED erzeugten Daten beruht. Während der ursprüngliche TensErLEED-CodeDelta-Amplituden nur für Verschiebungen auf einem festen Gitter und entlang jeweils einer Richtung berechnen konnte, ermöglicht der überarbeitete Code die On-Demand-Berechnung der Delta-Amplituden sowie der Intensität und des R-Faktors für beliebige Verschiebungen. Zu den Parametern für die Berechnung von I(V )-Kurven zählen der Realteil des interstitialen Potenzials des Kristalls, geometrische Verschiebungen, Vibrationsamplituden sowie die Besetzungswahrscheinlichkeiten der Gitterplätze. Nach der Reduktion der Parameteranzahl basierend auf Symmetrieüberlegungen und benutzerdefinierten Einschränkungen wird der verbleibende Parametervektor so normiert, dass alle Parameter im Bereich [0, 1]liegen. Ein derart normierter Parametervektor wird anschließend zur Optimierung des R-Faktors verwendet. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf Methoden zur Lösung dieses Optimierungsproblems sowie auf der Evaluierung verschiedener Optimierungsstrategien. Da die Oberfläche des R-Faktors weit entfernt vom globalen Minimum relativ flach ist, während sie in der Nähe des Minimums ein glattes Tal bildet, wird der Algorithmus in zwei Phasen unterteilt. In der globalen Suche wird der Fokus auf die Exploration gelegt, um die Senke zu identifizieren, die das globale Minimum enthält. Danach folgt eine lokale Suche, die auf die Feinauswertung abzielt, um das Minimum innerhalb dieser Senke zu erreichen. Für den globalen Optimierungsteil hat sich ein evolutionärer Algorithmus als effektiv er-wiesen, bei dem partielles Resampling eingesetzt wird, um den zulässigen Wertebereich der Parameter einzuhalten. Für die lokale Suche erweisen sich die Algorithmen SLSQP(Sequential Least SQuares Programming) und L-BFGS-B (Limited memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno algorithm with Bounds) als am geeignetsten. Ein Skalierungsfaktor wird eingeführt, um das Problem des Überschießens in den Anfangsiterationen zu lösen.

LEED I(V) is a quantitative extension to low-energy electron diffraction (LEED). For LEED I(V) the intensity I of the diffracted electrons is measured as a function of the kinetic energy of the incident electron beam (V). The resulting I(V) curves are then compared to calculated I(V) curves using a Reliability factor (R factor). The calculation of I(V) curves is computationally expensive. Curves for an input structure can be calculated with a so-called full dynamic calculation (i.e., including multiple scattering effects). Based on this full dynamic calculation, the effect of small changes to the input can be evaluated using the perturbative tensor-LEED approach. We developed a new implementation of tensor-LEED in Python and Google Jax. The program makes use of the information produced in the reference calculation by TensErLEED and ViPErLEED. While the original TensErLEED code could only calculate the delta amplitude for displacements on a fixed grid and in one direction at a time, the reworked code allows on-demand computation of the delta amplitudes, and consequently the intensity and the R factor, for arbitrary displacements. The parameters for the calculated I(V) curves include the real part of the interstitial potential of the crystal, geometric displacements, vibrational amplitudes, and the site occupations. After reducing the number of parameters based on symmetry and user constraints, the remaining parameter vector is normalized such that all parameters are in the range [0, 1]. The remaining vector is then used for the optimization of the R factor.The main focus of this work is on methods for solving this optimization problem and testing the feasibility of various optimization strategies. Since the R factor surface is rather flat when far from the global minimum and forms a smooth basin close to it, the algorithm is split into two parts. A global search focuses on exploration and aims at finding the basin containing the global minimum. Then, a local search focuses on exploitation to reach the minimum within the basin. For the global part of the optimization, we find an evolutionary-style algorithm to perform well, with partial resampling applied to stay within the bounds. For the local search we find the SLSQP (Sequential Least SQuares Programming) and L-BFGS-B (Limited memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno algorithm with Bounds) algorithms to be most suitable. A scaling factor is introduced to address the problem of overshooting in the initial iterations.